¿Cómo probarías que ax ^ 2 + bx + c, donde a, byc son enteros, no puede ser igual a un primo para cada valor de x?

Answer 1

De manera más general, demostramos que ningún polinomio no constante con coeficientes enteros puede asumir valores primos en cada entero.

Sea [matemático] P (x) [/ matemático] un polinomio no constante con coeficientes enteros. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que su coeficiente principal es positivo.

Como [math] P (x) [/ math] tiende a [math] \ infty [/ math] como [math] x [/ math] tiende a [math] \ infty [/ math], existe un número entero positivo [ matemática] N_1 [/ matemática] tal que para todos los enteros [matemática] n \ ge N_1 [/ matemática], tenemos [matemática] P (n)> 1 [/ matemática].

Nuevamente, dado que [math] P ^ {\ prime} (x) [/ math] es un polinomio que es una constante positiva o tiende a [math] \ infty [/ math] como [math] x [/ math] tiende a [matemática] \ infty [/ matemática], existe un número entero positivo [matemática] N_2 [/ matemática] tal que para todos los números reales [matemática] x \ ge N_2 [/ matemática], tenemos [matemática] P ^ {\ primo} (x)> 0 [/ matemática]. Por lo tanto, [math] P (n + 1)> P (n) [/ math] para todos [math] n \ ge N_2 [/ math].

Por lo tanto, [matemática] P (n) [/ matemática] es mayor que [matemática] 1 [/ matemática] y aumenta en función de [matemática] n [/ matemática] en el intervalo [matemática] [N, \ infty) [/ math], donde [math] N = \ max \ {N_1, N_2 \} [/ math].

Suponga que [matemáticas] P (N) = q [/ matemáticas] es primo. Como [matemáticas] P (N + q) \ equiv P (N) \ pmod {q} [/ matemáticas] y [matemáticas] P (N + q)> P (N) [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas ] q \ mid P (N + q) [/ math] y [math] P (N + q)> q [/ math]. Por lo tanto, [matemática] P (N + q) [/ matemática] no es primo. QED

Answer 2

Definiciones:

Se nos da [matemáticas] a, b, c \ in \ mathbb {Z} ^ 3 [/ matemáticas]. Deseamos encontrar una función [matemática] f (a, b, c) [/ matemática] que o bien genere una [matemática] x [/ matemática] válida si existe o nos dice que no es válida [matemática] x [/ matemáticas] existe. Una [matemática] x \ in \ mathbb {Z} [/ matemática] válida es tal que [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] no es un número primo.

Responder:

Una respuesta potencial es [matemáticas] f (a, b, c) = \ begin {cases} \ text {None} & \ text {,} a = b = 0, c = \ text {prime} \\ 0 & \ texto {,} a = 1, b = 0, c = -2 \\ c & \ text {,} | c | \ geq 2, ac ^ 2 + bc + c \ neq \ text {prime} \\ -c & \ text {,} | c | \ geq 2 \\ 0 & \ text {, de lo contrario} \ end {cases} [/ math].

Primero, si [matemática] a = b = 0 [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] es primo, entonces obviamente cada valor de [matemática] x [/ matemática] producirá [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0x ^ 2 + 0x + c = c [/ math], que es primo.

Si [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática] y [matemática] c = -2 [/ matemática], entonces elegir [matemática] x = 0 [/ matemática] dará como resultado [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 1 (0) ^ 2 + 0 (0) -2 = -2 [/ matemática], que no es primo.

Si [math] | c | \ geq 2 [/ math], entonces elegir [math] x = c [/ math] producirá [math] ax ^ 2 + bx + c = ac ^ 2 + bc + c = c ( ac + b + 1) [/ math], que es un múltiplo de [math] c [/ math]. Pero aún podemos tener problemas si {[matemáticas] ac + b + 1 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] es primo} o {[matemáticas] ac + b + 1 = -1 [/ math] y [math] c [/ math] es un primo negativo}, por lo que elegimos [math] x = -c [/ math] si nos encontramos con este caso.

Los únicos otros casos restantes son cuando [math] c \ in \ {- 1,0,1 \} [/ math]. En estos casos, elegir [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] producirá [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (0) ^ 2 + b (0) + c = c [/ matemáticas], que es No es primo.

Código:

El siguiente script de Python verifica mi función para cada uno de [math] a, b, c [/ math] en el rango [math] \ {- 50, -49, …, 49,50 \} [/ math].

matemáticas de importación

def main ():
minValue = -50
maxValue = 50
para un rango (minValue, maxValue + 1):
para b en rango (minValue, maxValue + 1):
para c en rango (minValue, maxValue + 1):
x = getValue (a, b, c)
si x == Ninguno:
escriba “a, b, c, x:” + str (a) + “,” + str (b) + “,” + str (c) + “, Ninguno”
elif isPrime (a * x * x + b * x + c):
imprime “a, b, c, x:” + str (a) + “,” + str (b) + “,” + str (c) + “,” + str (x)

# #
# Obtenga un valor potencial de “x”, dadas las entradas “a”, “b” y “c”.
# Devuelve None si no es suficiente con un valor de “x”.
# #
def getValue (a, b, c):
si a == 0 yb == 0 e isPrime (c):
regresar Ninguno
si a == 1 y b == 0 y c == -2:
volver 0
si abs (c)> = 2:
return -c if isPrime (a * c * c + b * c + c) más c
volver 0

# #
# Devuelve True si “número” es un número primo.
# #
def isPrime (número):
si número <= 1:
falso retorno
si número <= 3:
volver verdadero
para i en el rango (2, int (math.floor (math.sqrt (number))) + 1):
si el número% i == 0:
falso retorno
volver verdadero

if __name__ == ‘__main__’:
principal()

Answer 3

Creo que las otras respuestas aquí son un poco complejas, así que intentaré obtener una solución más fácil que se describe aquí.

Consideremos [math] f \ left (x \ right) = ax ^ 2 + bx + c [/ math], donde [math] a [/ math], [math] b [/ math] y [math] c [/ math] son ​​enteros, como ha especificado. ¿Qué es [matemática] f \ izquierda (c \ derecha) [/ matemática]?

[matemáticas] f \ left (c \ right) = ac ^ 2 + bc + c = c \ left (ac + b + 1 \ right) [/ math], que es claramente un múltiplo de [math] c [/ math ] Por lo tanto, [math] f \ left (c \ right) [/ math] no es primo.

Por lo tanto, no existe un “siempre primo” cuadrático. Un argumento similar puede extenderse a cualquier supuesto polinomio “siempre primo” con coeficientes enteros.

Answer 4

Intenta trabajar en aritmética modular. Pongamos [matemática] x = m [/ matemática], con [matemática] m [/ matemática] un número entero, y dejemos que [matemática] am ^ 2 + bm + c = p, p [/ matemática] prima. Entonces, cuando [math] n \ equiv m \ pmod p [/ math], [math] an ^ 2 + bn + c [/ math] será divisible por [math] p [/ math]. Esto es válido no solo para su fórmula, sino también para cualquier polinomio con valor entero.

Answer 5

¿No puedo? ¿Estás seguro? Simplemente tome [math] a, b = 0 [/ math] y [math] c [/ math] como cualquier número primo que desee, y esto le proporciona un contraejemplo. En realidad, con infinitos contraejemplos.

La discusión siguió, y me vino a la mente que lo que realmente se requiere para probar es que [matemática] \ existe a, b, c, x (a, b, c \ in \ mathbb {Z} \ wedge ax ^ 2 + bx + c = p \ wedge p \ text {is prime} \ wedge x \ notin \ mathbb {Z}). [/ math] Esto se puede probar con solo un ejemplo, por ejemplo, [math] x ^ 2 = 3. [/ math] Francamente hablando, uno ni siquiera necesita que p sea un número secreto.

Answer 6

Aquí hay una manera fácil de demostrar que [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] a veces escupe números compuestos para ciertos valores siempre que ayb no sean ambos 0.

Consideremos f (x + kf (x)).

[matemáticas] f (x + kf (x)) = a (x + kf (x)) ^ 2 + b (x + kf (x)) + c =

ax ^ 2 + 2xk f (x) + k ^ 2 f (x) ^ 2 + bx + bk f (x) + c =

ax ^ 2 + bx + c + 2xk f (x) + k ^ 2 f (x) ^ 2 + bk f (x) =

f (x) + f (x) (2xk + bk + k ^ 2 f (x)) = f (x) (1+ (2x + b) k + f (x) k ^ 2) [/ matemática]

Bueno, ahí lo tienes. Para todos x y k, f (x + kf (x)) es un múltiplo de f (x). Siempre que elija que f (x) no sea 1 y se asegure de que f (x) no sea la función constante, entonces f tiene números diferentes que son múltiplos del mismo primo. Claramente, esto significa que f a veces escupe números compuestos. No se puede evitar.

Answer 7

Ahora, puedo demostrar que puedes acertar al menos UN primo con a, byc siendo positivo.

Supongamos que el valor es 7, entonces la tarea es encontrar un conjunto de a, byc de modo que en un valor x dado, la fórmula produzca el valor 7 …

Entonces, ¿qué tal:

a = 1, b = 1, c = 5, entonces para x siendo 1, tienes:

1 x 1 + 1 x 1 + 5 = 7.

En una nota más genérica, diría que es probable que tenga un número casi infinito de soluciones con a, b, c siendo positivas para esa ecuación.

Por ejemplo: deje que el resultado se ejecute desde el primo más bajo, luego creo que es posible encontrar un número casi infinito de soluciones, debido a que siempre que el primo sea mayor que 2, siempre puede encontrar un valor entero positivo que satisfaga la ecuación, para x = 1.

Ahora para otros números primos más altos, creo que incluso es MUY posible encontrar más soluciones.