¿Cuál es el valor de [math] f (x) + f \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) [/ math], si [math] f (x) = \ displaystyle \ int \ limits_ {1 } ^ {x} \ frac {\ log t} {1 + t} \ mathrm {dt} [/ math]?

Answer 1

Como [math] f (x) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log t} {1 + t} \ mathrm {dt} [/ math], tenemos [math] f \ left (\ dfrac {1 } {x} \ right) = \ displaystyle \ int_1 ^ \ frac {1} {x} \ dfrac {\ log t} {1 + t} \ mathrm {dt}. [/ math]

Haciendo una sustitución [math] t = \ dfrac {1} {u}, [/ math] obtenemos [math] \ mathrm {dt} = – \ dfrac {1} {u ^ 2} \ mathrm {du}. [ /matemáticas]

Por lo tanto, [math] f \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log (1 / u)} {1+ (1 / u)} \ left (\ dfrac {-1} {u ^ 2} \ right) \ mathrm {du}. [/ math]

Como [math] \ log (1 / u) = – \ log u, [/ math] tenemos [math] f \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {u (- \ log u)} {u + 1} \ left (\ dfrac {-1} {u ^ 2} \ right) \ mathrm {du} = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log u} {u + 1} \ dfrac {1} {u} \ mathrm {du} [/ math]

Como [math] u [/ math] es solo una variable ficticia, podemos reemplazarla por [math] t [/ math] para obtener [math] f \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log t} {t + 1} \ left (\ dfrac {1} {t} \ right) \ mathrm {dt}. [/ math]

Así tenemos:

[matemáticas] f (x) + f \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log t} {1 + t} \ mathrm {dt} + \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log t} {t + 1} \ left (\ dfrac {1} {t} \ right) \ mathrm {dt} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {(\ log t) (t + 1)} {t (t + 1)} \ mathrm {dt} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {\ log t} {t} \ mathrm {dt} [/ math]

[math] = \ dfrac {(\ log x) ^ 2 – (\ log 1) ^ 2} {2} = \ dfrac {1} {2} (\ log x) ^ 2. [/ math] (Haga un sustitución [matemáticas] \ log t = y [/ matemáticas])