Cómo abordar el siguiente problema [matemáticas] 50 ^ x = x ^ {10} [/ matemáticas]

Answer 1

Podemos abordar este problema con la función Lambert W. (Algunas personas lo llaman la función de registro del producto) Función Lambert W

Este es el gráfico de [matemáticas] xe ^ x [/ matemáticas]:

Su inverso es la función Lambert W. Volteamos el gráfico alrededor de [matemáticas] y = x [/ matemáticas]

Es multivalor, por lo que es realmente un conjunto de funciones. De hecho, no solo tiene doble valor, sino que, sobre los números complejos, tiene múltiples valores.

Podemos usar esta función para realizar el siguiente paso:
[matemáticas] ue ^ u = z [/ matemáticas]
[matemáticas] u = W (z) [/ matemáticas]

Entonces, comencemos. Intentamos obtenerlo en forma de [math] ue ^ u [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *}
50 ^ x & = x ^ {10} \\
x \ log 50 & = 10 \ log x \\
\ frac {\ log 50} {10} & = \ frac {\ log x} {x} \\
\ frac {\ log 50} {10} & = \ frac {\ log x} {e ^ {\ log x}} \\
\ frac {\ log 50} {10} & = \ log x \ cdot e ^ {- \ log x} \\
– \ frac {\ log 50} {10} & = – \ log x \ cdot e ^ {- \ log x} \\
W \ left (- \ frac {\ log 50} {10} \ right) & = – \ log x \\
-W \ left (- \ frac {\ log 50} {10} \ right) & = \ log x \\
\ exp \ left (-W \ left (- \ frac {\ log 50} {10} \ right) \ right) & = x \\
\ end {align *} [/ math]

Esta es la solución simbólica a su problema. Es posible que no esté totalmente satisfecho con él porque involucra [matemáticas] W (x) [/ matemáticas]. Después de un tiempo, te acostumbras a [matemática] W (x) [/ matemática] y la aceptas, como aceptas [matemática] \ sqrt {\:} [/ matemática] como el inverso de [matemática] x ^ 2 [/matemáticas].

Entonces, como [math] W (x) [/ math] tiene múltiples valores, su ecuación también tiene múltiples soluciones.

Si desea una solución aproximada, puede utilizar varios métodos, por ejemplo, el método de Newton-Raphson o el método de bisección. Eche un vistazo a esta pregunta: ¿Cómo resuelvo [matemáticas] x- \ ln (x ^ 2-1) = 0 [/ matemáticas]? para más información.

Answer 2

Tenga en cuenta que la función [matemáticas] f (x) = 50 ^ {x} [/ matemáticas] es una función de potencia, [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas]
Pero [matemática] g (x) = x ^ {10} [/ matemática] es un polinomio, [matemática] g (0) = 0 [/ matemática] y el polinomio aumenta más lentamente que la función de potencia en la parte no negativa de x -eje (y sus gráficos nunca se encuentran).
Suponga que [matemáticas] h (x) = f (x) – g (x) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] h (x) = 0 [/ math] no tiene una raíz no negativa.
Como [math] h (-1) \; <\; 0 \;, \; h (-0.5) \;> \; 0 \; [/ math],
por el teorema de la raíz intermedia obtenemos [matemáticas] \; \; h (x) \; = \; 0 \; [/ math] tiene una raíz real entre -1 y – 0. 5
Mediante el método de bisección, puede encontrar el valor aproximado de la raíz como
– 0.747

Answer 3

No puedo calcular la respuesta exacta, pero puedo proporcionar un rango preciso.
Tenga en cuenta que 50 ^ x será mayor que x ^ 10 para x≥0 (Graph).
De ahí la solución de x≤0.
Ahora, también puedo ver en el gráfico que la solución está entre -1 y 0 (1/50 <1).
Por lo tanto, solo la solución de x se encuentra entre (-1,0)

Editar: Wolfram | Resultados alfa:

Answer 4

Considere los números reales positivos.

[matemáticas] 50 ^ 0 = 1 \ y \ 0 ^ {10} = 0 [/ matemáticas]. Como [math] 50 ^ {x} [/ math] comienza en un valor mayor (1> 0) y crece mucho más rápido, no hay soluciones reales positivas.

Como [math] 10 ^ {x} [/ math] es par, también aumenta de 0 a [math] – \ infty [/ math], pero [math] 50 ^ x [/ math] está disminuyendo. Entonces, hay una solución real negativa, que no se puede encontrar a mano. Su valor es [matemática] \ aprox -0.7467 [/ matemática]

Answer 5

50 ^ x = x ^ 10

tomar log10 en ambos lados, se simplifica a

x * log50 = 10 * logx

1.69897x = 10 * logx

0.169897x = logx

0.169897 = logx / x

integrarlo o simplemente poner esta ecuación en la calculadora científica, dará una respuesta directa a esta ecuación