¿Qué hay para probar acerca de 1 + 1 = 2?

Answer 1

Uno de los principios básicos de las matemáticas formales es que si algo no es un axioma, un hecho básico que se supone que es cierto, entonces se debe demostrar que deriva de esos axiomas. Entonces, la afirmación 1 + 1 = 2 es axiomáticamente verdadera o debe ser probada.

Por supuesto, esto depende de los axiomas con los que comienzas.

Si comienza con los Axiomas de Peano para números naturales (es decir: (a) existe un número natural 1; (b) cada número natural [matemática] n [/ matemática] tiene un sucesor único [matemática] n ‘[/ matemática] ( es decir, [matemática] n ‘= m’ \ implica n = m [/ matemática]); (c) 1 no es el sucesor de ningún número natural; (d) Dada una proposición [matemática] P [/ matemática], si tanto [math] P (1) [/ math] como [math] P (n) \ implica que P (n + 1) [/ math] son ​​verdaderas, entonces [math] P (n) [/ math] es verdadero para todo [matemática] n [/ matemática]), luego, una vez que defina la suma de manera sensata, es relativamente fácil mostrar que 1 + 1 = 2. Es tan trivial que incluso se puede olvidar que es necesario hacerlo (la mitad de la definición estándar de suma bajo los Axiomas de Peano es que [matemática] n + 1 = n ‘[/ matemática], sustituyendo en 1 por n, obtienes [matemática] 1 + 1 = 1 ‘[/ math], y 2 es solo otro nombre para [math] 1’ [/ math]. QED).

La famosa prueba de Russell y Whitehead no comenzó con ningún axioma obviamente equivalente a 1 + 1 = 2. De hecho, no comenzó con una definición de enteros, igualdad de enteros o suma de enteros. Después de la página 10 de su libro, era imposible decir, en su lenguaje matemático, 1 + 1 = 2.

Creo que su “prueba” fue una broma: después de más de 300 páginas de definición de notación, establecimiento de axiomas y desarrollo de pruebas de resultados aparentemente triviales, notaron después de una prueba particular que, después de definir la suma (que aún no habían hecho) , “De esta proposición se seguirá, cuando se define la suma aritmética, que 1 + 1 = 2”. Más tarde, después de definir la suma aritmética y probar 1 + 1 = 2, notan que este resultado es “ocasionalmente útil” y se ha usado “al menos tres veces” en su trabajo (citando pruebas que lo usan). Esto me parece una introducción a la ligereza en el trabajo, pero podría estar equivocado.

Answer 2

Sí, fue demostrado por Bertrand Russell en sus Principia Mathematica (no confunda esto con los Principia de Newton ). Es una colección bastante inmensa de tres volúmenes que prueba los fundamentos de las matemáticas como el mencionado en su pregunta. ¡No dude en buscarlo, pero continúe leyéndolo a su propio criterio! 😛

Answer 3

Nunca hubo ninguna duda de si 1 + 1 = 2. La única razón por la que te propondrías probarlo formalmente es para probar tus axiomas y definiciones de los números naturales. Si no pudieras probarlo usando tu sistema, ¡volvería a la mesa de dibujo! Si logró demostrar 1 + 1 = 2, entonces puede abordar 2 + 2 = 4, o la asociatividad y la conmutatividad de la suma, etc. (Una de mis preguntas favoritas para los matemáticos es pedirles que demuestren formalmente 2 + 2 = 4 usando su sistema. Dado que probablemente no tienen un sistema viable de axiomas y definiciones, más o menos los detiene en seco. Suponiendo que no estén completamente locos).

Answer 4

Creo que Bertrand Russell escribió el Director Mathmatica porque creía que Math requería algún tipo de base lógica. Era más un lógico que un matemático. Además, esto es como alguien que no ha leído PM, pero creo que la mayor parte de la sección es simplemente definir 1, +, = y 2. Debido a que cuanto más simple es una cosa, más difícil se describe sin decir “Es eso. ”