Incluso para [math] n [/ math] ¿cómo veo que el mapa antipodal de [math] S ^ n [/ math] es homotópico a la reflexión y, por lo tanto, tiene grado [math] -1 [/ math]?

Answer 1

Interesante. Hatcher demuestra que el grado es [matemática] {(-1)} ^ {n + 1} [/ matemática] al notar que el mapa antipodal es solo una composición de reflexiones (una vez en cada coordenada). Este es un enfoque ligeramente diferente.

Aquí está la cosa. Desea crear una transformación continua desde

[matemáticas] \ begin {pmatrix} -1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & -1 & \ ldots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & -1 \ end {pmatrix} [/ math]

a

[matemática] \ begin {pmatrix} -1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ ldots & 0 \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & 1 \ end {pmatrix} [/ math].

Es instructivo ver cómo puede hacer esto en el caso [math] n = 2 [/ math]. Si puede descubrir cómo hacerlo allí, puede generalizar el argumento en esa configuración para cualquier [matemática] n [/ matemática] par.