Si a / b = c / d = k, ¿(a + c) / (b + d) = k?

Si eso es verdad.

Como [math] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} = k [/ math], podemos reemplazar k en la segunda expresión con cualquiera de esos. Elegiré [math] \ dfrac {a} {b} [/ math], pero el otro funcionaría igual de bien. Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {a + c} {b + d} = k = \ dfrac {a} {b} \ rightarrow \ dfrac {a + c} {b + d} = \ dfrac {a} {b} [ /matemáticas]. Mutiply ambos lados por [math] \ dfrac {b} {a} [/ math] para obtener 1 en el lado derecho.

[matemáticas] \ dfrac {a + c} {b + d} * \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} * \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {ab + bc} {ab + ad} = 1 [/ matemáticas]. Mutliply ambos lados por el denominador.

[matemáticas] \ dfrac {ab + bc} {ab + ad} * (ab + ad) = 1 * (ab + ad) [/ math]. Los dos términos “ab” en cada lado se cancelan:

[math] ab + bc – (ab) = ab + ad – (ab) \ rightarrow bc = ad [/ math]. Al dividir por la cantidad [math] b * d [/ math] se obtiene [math] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} [/ math]. Como el problema indica que esta es una afirmación verdadera, hemos demostrado que [math] \ dfrac {a + c} {b + d} = k [/ math]

Primero, supongo que b, d, y b + d son [math] \ neq [/ math] 0.

Deberías escribir todo de una manera diferente:

[matemáticas] a = bk [/ matemáticas]

[matemáticas] c = dk [/ matemáticas]

A partir de ahí tenemos [matemáticas] a + c = bk + dk = (b + d) k [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ frac {a + c} {b + d} [/ matemáticas] = k