Si desea considerar números reales, debe usar la función Gamma
Siendo [matemáticas] \ Gamma (x + 1) = x! [/ Matemáticas] entonces la desigualdad se convierte en:
[matemáticas] x ^ x> x ^ {\ Gamma (x + 1)} [/ matemáticas]
Para x> 1, podemos tomar el logaritmo en ambos lados de la desigualdad ya que el logaritmo es positivo y es una función creciente. Entonces la desigualdad se vuelve.
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[matemáticas] x \ ln (x)> \ Gamma (x + 1) \ ln (x) [/ matemáticas]
eso se convierte en
[matemáticas] x> \ Gamma (x + 1) [/ matemáticas]
Esta desigualdad se puede resolver gráficamente. Usé Sage para trazar tanto la función gamma como la línea recta [math] y = x [/ math] y esto es lo que obtengo
Entonces, en el dominio real, la desigualdad se mantiene cuando [math] 1 <x <2 [/ math]
Usé salvia incluso para verificar la desigualdad.
Cuando x = 1.5 tenemos
Respuestas adicionales:
[matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es una forma indeterminada, por lo que la desigualdad no tiene sentido allí. Si pasamos al límite, de todos modos, las cosas son un poco más complejas como en mi modelo, no puede eliminar el logaritmo como lo hice, ya que su valor es 0.
¡Sabemos que [matemáticas] (n + 1)! = (n + 1) \ veces n! [/ math] si [math] n = 0 [/ math] tenemos [math] 1! = 1 \ times 0! [/ Math] por lo tanto [math] 0! = 1! / 1 = 1 [/ matemáticas]
