Cómo demostrar que, para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas], [matemáticas] (1+ \ frac {1} {n}) ^ n <n (1+ \ frac {1} {n}) [ /matemáticas]

Answer 1

Supongamos que [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] (principalmente porque no sé cómo hacerlo de otra manera) y abordemos el problema con inducción.

Antes de comenzar, hagamos un poco de simplificación en el lado derecho de la ecuación que facilitará nuestras vidas durante la prueba.

[matemáticas] n (1 + \ frac {1} {n}) = n (\ frac {n} {n} + \ frac {1} {n}) = n (\ frac {n + 1} {n} ) = n + 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, queremos demostrar que para todos los números naturales [matemática] n \ geq 2 [/ matemática]:

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n + 1} = n + 1 [/ matemáticas]

---

Caso base: Nuestro caso más pequeño es cuando [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {2}) ^ 2 <2 + 1 \ rightarrow (\ frac {3} {2}) ^ 2 <2 + 1 \ rightarrow \ frac {9} {4} < 3 [/ matemáticas]

¡Nuestro caso base es cierto!

Hipótesis inductiva: Asumiremos que, para algunos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] donde [math] n \ geq 2 [/ math], nuestro reclamo es verdadero.

Paso inductivo: debemos demostrar que nuestro reclamo es válido para [matemática] n + 1 [/ matemática], o que:

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n + 1} <(n + 1) + 1 [/ matemáticas]

Vamos a concentrarnos primero en el lado izquierdo.

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n + 1} = (1 + \ frac {1} {n + 1}) (1 + \ frac {1} {n + 1 }) ^ {n} [/ matemáticas]

Veamos [matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n} [/ matemáticas] en particular. Sabemos que [matemáticas] \ frac {1} {n + 1} <\ frac {1} {n} [/ matemáticas], por lo que debe significar que [matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1 }) ^ n <(1 + \ frac {1} {n}) ^ n [/ math]. Y a través de nuestra hipótesis inductiva, podemos decir que [matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ n <(1 + \ frac {1} {n}) ^ n <n + 1 \ rightarrow (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ n <n + 1 [/ math].

Ahora, volvamos al lado izquierdo de nuestra ecuación y apliquemos esta desigualdad.

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n} <(1 + \ frac {1} {n + 1}) (n + 1) = (\ frac {n + 1} {n + 1} + \ frac {1} {n + 1}) (n + 1) = (\ frac {n + 2} {n + 1} ) (n + 1) = n + 2 = n + 1 + 1 [/ matemáticas]

¡Hemos demostrado con éxito que [matemáticas] (1 + \ frac {1} {n + 1}) ^ {n + 1} <(n + 1) + 1 [/ matemáticas]! Esto prueba nuestro paso inductivo y concluye nuestra prueba.

Answer 2

En primer lugar, para n = 2 tenemos (1 + 1/2) ^ 2 = 9/4 <3, es decir, la desigualdad que pides demostrar realmente es válida para n = 2.

Suponga que esta desigualdad se cumple para algún número natural n, es decir:

(1 + 1 / n) ^ n 1).

Ahora, dado que tenemos 1 / (n + 1) <1 / n para cada número natural n, derivamos:

(1 + 1 / (n + 1)) ^ (n + 1) <(1 + 1 / (n + 1)) * (1 + 1 / n) ^ n <((n + 2) / (n + 1)) * (n + 1) = n + 2

Por lo tanto, nuestra suposición de que la desigualdad requerida se cumple para algunos n> 1 implica su validez también para n + 1. Esto completa la prueba de esa desigualdad por inducción para todos n> 1. QED

Answer 3

Queremos mostrar [math] \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n

El lado izquierdo de la desigualdad, usando la expansión binomial, es [matemáticas] \ begin {array} {lll} \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ begin {array} {cc} n \\ k \ end { array} \ right) \ frac {1} {n ^ k} & = & 1 + \ sum_ {k = 2} ^ n \ left (\ frac {n \ cdot (n-1) \ cdot \ ldots \ cdot ( n-k + 1)} {k!} \ frac {1} {n ^ k} \ right) \\ & = & 1 + \ sum_ {k = 2} ^ n \ frac {1} {k!} \ izquierda [\ frac {n} {n} \ frac {n-1} {n} \ frac {n-2} {n} \ ldots \ frac {n-k + 1} {n} \ right] \\ & <& 1 + \ sum_ {k = 2} ^ n 1 \\ & <& 1 + n \ end {array} [/ math]

Answer 4

Supongamos que sabemos lo siguiente.

[matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ {n-1} = e. [/ math]

Entonces, suponga que para todos [math] n \ geq 2 [/ math]

[matemáticas] \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ {n-1} \ geq n. [/ math]

Esto es una contradicción porque nunca es cierto que

[matemáticas] e \ geq \ infty. [/ matemáticas]

Conclusión:

[matemáticas] \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ {n}

Answer 5

[matemáticas] (1 + \ frac {1} {n}) ^ n = \ sum_ {i = 0} ^ {n} {\ frac {n!} {i! (ni)!} \ frac {1} { n ^ i}} [/ matemáticas]

[matemáticas] <2 + \ sum_ {i = 2} ^ {n} {\ frac {1} {i!}} <2 + \ sum_ {i = 1} ^ {n - 1} {\ frac {1} {2 ^ i}} <3 [/ matemáticas]

Answer 6

Obtenemos igualdad cuando n = 1. La desigualdad es válida para todos los nunbers reales mayores que 1. Una forma de mostrar esto es dividir el lado izquierdo por el lado derecho, y demostrar que tenemos una función decreciente. También multiplicaré por [matemáticas] n ^ {n-1} [/ matemáticas] y tomaré registros.

Entonces [matemáticas] \ frac {d} {dx} ((n-1) ln (n + 1) – n ln (n)) = \ frac {n-1} {n + 1} + ln (n + 1 ) – 1 – ln (n) [/ matemáticas].

Queremos mostrar que esto es negativo para n> 1.

Es decir, [matemáticas] exp (- \ frac {2} {n + 1}) <\ frac {n} {n + 1} [/ matemáticas].

Los primeros dos términos en la serie exponencial total [matemática] \ frac {n-1} {n + 1} [/ matemática] y el siguiente término es [matemática] 0.5 {\ frac {2} {n + 1}} ^ 2 [/ math] que es menor que [math] \ frac {1} {n + 1} [/ math] cuando n> 1. Como los términos se alternan y disminuyen y el primer término descuidado es negativo, el resultado se demuestra .

Answer 7

Primero tenga en cuenta que el lado izquierdo tiende hacia e cuando n crece sin límite y está aumentando, por lo que siempre es menor que e. Expande el lado derecho para obtener n + 1. Para n> = 2, e

Answer 8

Simple, simplemente divide el número de personas sin hogar en su área, por el número o las familias de la clase trabajadora que viven por debajo del nivel de pobreza, y luego lo multiplica por la mediana de la población, pariente.

Y ahí tienes la respuesta a lo que deberían ser tus estudios 🙂

Answer 9

Intenta usar el teorema binomial. En el lado izquierdo tiene 1 más algunos otros términos, ¿cuántos otros términos hay? ¿Puedes descubrir límites superiores útiles en esos términos?

Answer 10

El lado derecho cuando n> = 2 ya es mayor o igual que 3. Mientras que el lado izquierdo siempre es menor que e. Auge. Demostrado.