Para la función z = 2xy-x-y + 1, y para x, y como enteros, ¿cuántos conjuntos de (x, y) son menores que un valor dado de z?

Answer 1

Para mi decepción, el interlocutor no ha respondido a mi comentario sobre la pregunta. Sin embargo, al precisar la forma en que sugerí, me pareció una pregunta interesante. Fallé en cualquier tipo de solución analítica. Pero lo hice con fuerza bruta en el sentido de examinarlo con un programa de computadora. Resulta que los valores de [math] z [/ math] para los que hay muchos pares de este tipo son relativamente raros. La siguiente lista, para cada recuento, es el valor más pequeño de [math] z [/ math] para el que existen al menos tantos pares de [math] xy [/ math]. Hasta un recuento de 12, enumera los pares (omitiendo el caso trivial, siempre presente, [matemática] x = 1 [/ matemática] y [matemática] y = z [/ matemática]).

contar pares de primera z

1 1
2 5 2,2
3 23 2,8 3,5
4 53 2,18 3,11 4,8
5 113 2,38 3,23 5,13 8,8
6 158 2,53 3,32 4,23 5,18 8,11
8 473 2,158 3,95 4,68 5,53 8,32 11,23 14,18
9 788 2,263 3,158 4,113 5,88 8,53 11,38 13,32 18,23
10 1418 2,473 3,284 4,203 5,158 8,95 11,68 14,53 18,41 23,32
12 1733 2,578 3,347 4,248 5,193 6,158 8,116 11,83 17,53 18,50 23,39 28,32
16 5198
18 8663
20 15593
24 22523
27 60638
32 67568
36 112613
40 202703
48 337838

Actualización: una respuesta del interrogador a mi comentario sobre la pregunta indica que puede buscar el valor de [matemáticas] C (z) = | \ {\ \ {x, y \} \ | \ x, y \ in \ mathbb { N} ^ +, \ x \ le y, [/ math] y [math] 2xy-x-y + 1 \ le z \} | [/ math]. Esta pregunta pierde el sabor de Diophantine de mi versión. Pero permite algo más cercano a una respuesta en forma de una expresión: [matemáticas] C (z) = {\ sum} _ {x = 1} ^ {x = k} (\ lfloor (z + x-1) / (2x-1) \ rfloor -x + 1) [/ math], donde [math] k = \ lfloor (1+ \ sqrt {2z-1)}) / 2 \ rfloor [/ math]. Tuve que derivar el límite superior [matemáticas] k [/ matemáticas] para mi programa. Se sigue de [math] y = \ lfloor (z + x-1) / (2x-1) \ rfloor \ ge x [/ math], donde este [math] y [/ math] es el mayor valor de [math ] y [/ math] que resolverá la desigualdad para la [math] x [/ math] dada. No veo una manera de evaluar la suma de manera más sucinta.

Answer 2

Este es un paraboloide hiperbólico (una superficie de silla de montar), con su punto crítico en [math] \ left (\ dfrac {1} {2}, \ \ dfrac {1} {2} \ right) [/ math].

Tenga en cuenta que para la línea [math] y \ = \ x, [/ math] la función (es decir, el valor de salida, z) es positiva y creciente, mientras que para [math] y \ = \ -x, [/ math ] z es negativo y decreciente.

A menos que tenga algunas restricciones mejores que {[matemáticas] \ left (x, \ y \ right) | \ left (x, \ y \ right) \ in \ \ Z [/ math]}, puede ver que hay infinitas [math] \ left (x, \ y \ right) [/ math] que son menores que su salida, z.

Cf: cálculo multivariable: superficies de silla de montar