¿Hay un campo trivial (cero)?

Ya sabes, es una cuestión de definición, pero el estándar ahora es que el anillo trivial no es un campo (supongo que esto probablemente se solidificó con Bourbaki). Honestamente, creo que esta es la definición correcta.

He aquí por qué: el anillo trivial no se comporta como otros campos con respecto a otros objetos que le interesan en álgebra conmutativa. Por ejemplo, generalmente dos espacios vectoriales [matemática] \ mathbb {F} ^ n [/ matemática] y [matemática] \ mathbb {F} ^ m [/ matemática] son ​​isomórficos si y solo si [matemática] n = m [/ matemáticas]. Sin embargo, si [math] \ mathbb {F} [/ math] es el anillo trivial, ¡entonces todos son isomorfos!

Aquí hay otro ejemplo: una de las formas de definir un ideal máximo [math] \ mathfrak {m} [/ math] dentro de un anillo [math] R [/ math] es decir que [math] R / \ mathfrak {m } [/ math] tiene que ser un campo. Sin embargo , si [math] \ mathfrak {m} = R [/ math], entonces [math] R / \ mathfrak {m} [/ math] es el anillo trivial, ya que desea tener una definición tan clara del ideal máximo como sea posible, y definitivamente no desea que todo el anillo sea máximo, es ventajoso excluir el anillo trivial de ser un campo.

Puede tener un campo con un elemento. Sus propiedades funcionan. Pero se requiere un elemento. Además, es el único campo donde los dos elementos neutrales (de las dos operaciones) se superponen.
Elimine eso (debido a la definición) y el campo más pequeño se convierte en [matemáticas] \ Z_2 [/ matemáticas] y, hasta el isomorfismo, es el único de ese tamaño (2 elementos)

En un campo, los elementos distintos de cero deben formar un grupo con multiplicación y este grupo debe tener un elemento neutral, 1. Ahora, dado que 1 ∈ F – {0}, 1 no puede ser igual a 0.