Ya sabes, es una cuestión de definición, pero el estándar ahora es que el anillo trivial no es un campo (supongo que esto probablemente se solidificó con Bourbaki). Honestamente, creo que esta es la definición correcta.
He aquí por qué: el anillo trivial no se comporta como otros campos con respecto a otros objetos que le interesan en álgebra conmutativa. Por ejemplo, generalmente dos espacios vectoriales [matemática] \ mathbb {F} ^ n [/ matemática] y [matemática] \ mathbb {F} ^ m [/ matemática] son isomórficos si y solo si [matemática] n = m [/ matemáticas]. Sin embargo, si [math] \ mathbb {F} [/ math] es el anillo trivial, ¡entonces todos son isomorfos!
Aquí hay otro ejemplo: una de las formas de definir un ideal máximo [math] \ mathfrak {m} [/ math] dentro de un anillo [math] R [/ math] es decir que [math] R / \ mathfrak {m } [/ math] tiene que ser un campo. Sin embargo , si [math] \ mathfrak {m} = R [/ math], entonces [math] R / \ mathfrak {m} [/ math] es el anillo trivial, ya que desea tener una definición tan clara del ideal máximo como sea posible, y definitivamente no desea que todo el anillo sea máximo, es ventajoso excluir el anillo trivial de ser un campo.
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