¿Es posible demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad usando la definición [matemáticas] f ‘(x) = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} h [/ matemáticas]?

Answer 1

Sí, suponga que la función [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] es diferenciable. Para demostrar la continuidad de [math] f (x) [/ math], su límite a medida que x se aproxima a c debería ser igual a [math] f (c) [/ math] para cada [math] c [/ math] en su dominio. Por lo tanto, intentamos demostrar

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] f (x) = f (c) [/ matemáticas]

Empezar con

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] (f (x) – f (c)) [/ matemáticas]

Ahora multiplique el límite por [matemáticas] \ frac {xc} {xc} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] (f (x) -f (c)) * [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {xc} {xc} [/ matemáticas ] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to c} [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {f (x) -f (c)} {xc} * [/ matemáticas] [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] xc [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que ahora tenemos una expresión para [math] f ‘(x) [/ math], que supusimos que existe, multiplicada por

[matemática] [/ matemática] [matemática] \ lim \ limits_ {x \ to c} [/ matemática] [matemática] xc = c – c = 0 [/ matemática].

Por lo tanto, el límite inicial es igual a 0. Por último, tenga en cuenta [matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] f (c) = f (c) [/ matemáticas]

Reorganizar los rendimientos límite iniciales

[matemáticas] \ lim \ límites_ {x \ a c} [/ matemáticas] [matemáticas] f (x) = f (c) [/ matemáticas]

Lo cual es una prueba de la continuidad de la función.

Errores editados en el diseño matemático

Answer 2

Bueno, la falta de continuidad implicaría una de dos posibilidades:

1: El límite de la función cerca de x no existe. Claramente, entonces la derivada no puede existir porque la definición de la derivada implica el límite.

2: El límite existe pero es diferente del valor real de la función en x (es decir, una “discontinuidad de agujeros”). En este caso, el numerador de la definición derivada se acercaría a algo distinto de cero, mientras que el denominador se acercaría a cero, causando una singularidad.

En cualquier caso, la falta de continuidad evitaría que la derivada sea real y finita. Por lo tanto, una derivada puede existir solo si la función es continua, por lo tanto, la diferenciabilidad implica continuidad.

Answer 3

Si la función [matemática] f [/ matemática] tiene una derivada en un punto particular [matemática] x = a [/ matemática], [matemática] f ‘(a) = c [/ matemática], eso significa que

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} h = c [/ matemáticas],

equivalente

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \ frac {f (x) -f (a)} {xa} = c [/ matemáticas].

La única forma en que un cociente puede acercarse a un número finito c cuando el denominador se acerca a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es si el numerador también se acerca a [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Eso significa que

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \, (f (a + h) -f (a)) = 0 [/ matemáticas]

equivalente

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \, (f (x) -f (a)) = 0, [/ matemáticas]

es decir,

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} \, f (x) = f (a). [/ matemáticas]

Pero ese último límite dice que [matemática] f [/ matemática] es continua en [matemática] x = a [/ matemática].

Answer 4

Si.

Suponga que [math] f ^ {‘} (x) [/ math] existe (como un número real finito).

Entonces [math] \ Big ([/ math] [math] \ lim_ {h \ to 0} \; h \; \ Big) \ cdot \; [/ math] [math] f ^ {‘} (x) \ ; [/ math] [math] = [/ math] [math] \; \ Big (\; [/ math] [math] \ lim_ {h \ to 0} h \; \ Big) \ cdot \; \ Big (\; \ lim_ {h \ to 0} \; \ Big (\ frac {f (x + h) \; – \; f (x)} {h} \; \ Big) \; \ Big) [/matemáticas]

[matemática] \ por lo tanto \; \; 0 [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \; [/ matemática] [matemática] \ lim_ {h \ a 0} \; \ Grande (f (x + h) \; – \; f (x) \; \ Big) \ ;, [/ math]

por las propiedades de los límites (regla de producto y regla de cociente de límites)

Esto prueba que la función [matemática] f (x) [/ matemática] es continua donde sea que [matemática] f ^ {‘} (x) [/ matemática] exista [matemática]. [/ Matemática]

Answer 5

Está. Arreglemos [math] x \ en I, [/ math] el dominio de f, para toda la prueba.

Ahora deja

[matemáticas] T_x (f) \ colon I \ setminus \ {x \} \ to \ mathbb R \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ h \ mapsto \ frac {f (x + h) -f (x) } {h} [/ matemáticas]

Vea que si f es diferenciable en x, entonces [matemática] T_x (f) (h) [/ matemática] tiene un límite (finito) cuando [matemática] h \ a 0 [/ matemática]

Ahora vea que [math] T_x (f) (h) \ times h [/ math] tiene un límite cuando [math] h \ a 0 [/ math], que es 0.

Eso significa precisamente que [math] \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} f (x + h) = f (x) [/ math], que es la definición de continuidad en el punto x.