De acuerdo, si x e y son enteros, que satisfacen la ecuación anterior, entonces hay 8 valores para xy: -8, -3, -1, 0, 24, 25, 27, 32 . Hay 8 pares [matemática] (x, y [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] que satisfacen esta ecuación: (2, -4), (-3, 1), (1, -1), ( 0,0), (6,4), (5,5), (9,3), (4,8). Vota a favor esta respuesta para que todos puedan ver la respuesta correcta ya que hay muchas incorrectas y engañosas a continuación. Así es como resolvemos el problema.
Nuestra ecuación principal es:
[matemáticas] xy = 2x + 3y [/ matemáticas]
Deje que [math] m [/ math] y [math] n [/ math] sean enteros. Hay cuatro casos diferentes.
- El LCM y HCF de 64, 80 y X son 960 y 16 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de x?
- Si a / b = c / d = k, ¿(a + c) / (b + d) = k?
- Cómo demostrar que, para [matemáticas] n \ geq 2 [/ matemáticas], [matemáticas] (1+ \ frac {1} {n}) ^ n <n (1+ \ frac {1} {n}) [ /matemáticas]
- Ecuación simultánea: [matemática] a + b = 3n [/ matemática], [matemática] ab = n [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] (ab) ^ 2 [/ matemática] en términos de [matemática] n [/ matemáticas]?
- Para la función z = 2xy-x-y + 1, y para x, y como enteros, ¿cuántos conjuntos de (x, y) son menores que un valor dado de z?
Caso 1: [matemática] x = 2m [/ matemática] y [matemática] y = 2n + 1. [/ Matemática]
[matemáticas] 2m * (2n + 1) = 2 * 2m + 3 (2n + 1) [/ matemáticas]
[matemática] 4mn + 2m = 4m + 6n + 3 [/ matemática]
[matemáticas] 2 (2mn-m-3n) = 3 [/ matemáticas]
Claramente, LHS es par mientras que RHS es impar. Entonces, no hay soluciones en el caso 1.
Caso 2: [matemáticas] x = 2m + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2n [/ matemáticas] [matemáticas]. [/ matemáticas]
[matemáticas] (2m + 1) * 2n = 2 * (2m + 1) + 3 * 2n [/ matemáticas]
[matemáticas] 4mn + 2n = 4m + 2 + 6n [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 (mn-nm) = 1 [/ matemáticas]
Nuevamente, LHS es par mientras que RHS es impar. No hay soluciones en el caso 2.
Caso 3: [matemática] x = 2m [/ matemática] y [matemática] y = 2n. [/ Matemática]
[matemáticas] 2m * 2n = 2 * 2m + 3 * 2n [/ matemáticas]
[matemáticas] 4mn = 4m + 6n [/ matemáticas]
[matemática] 2m (n-1) = 3n [/ matemática]
[matemáticas] 2m = 3n / (n-1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2m = 3 + 3 / (n-1) [/ matemáticas]
El LHS de esta ecuación es un entero par. Claramente, el RHS puede ser un entero si y solo si [matemática] n = -2 [/ matemática] o [matemática] n = 0 [/ matemática] o [matemática] n = 2 [/ matemática] o [matemática] n = 4. [/ Matemáticas]
Para [matemáticas] n = -2 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = (3 + 3 / -3) / 2 = 1 [/ matemáticas]. Entonces, si [math] (m, n) = (1, -2) [/ math], entonces [matemáticas] (x, y) = (2, -4). [/ matemáticas]
Para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = (3 + 3 / -1) / 2 = 0 [/ matemáticas]. Entonces, si [matemáticas] (m, n) = (0,0) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x, y) = (0,0). [/ Matemáticas]
Para [matemática] n = 2 [/ matemática], tenemos [matemática] m = (3 + 3/1) / 2 = 3 [/ matemática]. Entonces, si [matemática] (m, n) = (3,2) [/ matemática], entonces [matemática] (x, y) = (6,4). [/ Matemática]
Para [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = (3 + 3/3) / 2 = 2 [/ matemáticas]. Entonces, si [matemáticas] (m, n) = (2,4) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x, y) = (4,8). [/ Matemáticas]
Caso 4: [matemática] x = 2m + 1 [/ matemática] y [matemática] y = 2n + 1 [/ matemática].
[matemáticas] (2m + 1) * (2n + 1) = 2 (2m + 1) +3 (2n + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 4mn + 2m + 2n + 1 = 4m + 2 + 6n + 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2mn-m = 2n + 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] m = (2n + 2) / (2n-1) [/ matemáticas]
[matemáticas] m = 1 + 3 / (2n-1) [/ matemáticas]
El LHS de esta ecuación es un número entero. Claramente, el RHS puede ser un entero si y solo si [matemática] n = -1 [/ matemática] o [matemática] n = 0 [/ matemática] o [matemática] n = 1 [/ matemática] o [matemática] n = 2 [/ matemáticas].
Para [matemáticas] n = -1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = 1 + 3 / -3 = 0 [/ matemáticas]. Entonces, si [math] (m, n) = (0, -1) [/ math], entonces [matemáticas] (x, y) = (1, -1). [/ matemáticas]
Para [matemática] n = 0 [/ matemática], tenemos [matemática] m = 1 + 3 / -1 = -2 [/ matemática]. Entonces, si [matemáticas] (m, n) = (- 2,0) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x, y) = (- 3,1) [/ matemáticas] .
Para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = 1 + 3/1 = 4 [/ matemáticas]. Entonces, si [matemáticas] (m, n) = (4,1) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x, y) = (9,3) [/ matemáticas] .
Para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] m = 1 + 3/3 = 2 [/ matemáticas]. Entonces, si [matemáticas] (m, n) = (2,2) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] (x, y) = (5,5). [/ Matemáticas]
Interpretación analítica
La pregunta anterior se puede interpretar analíticamente como “¿En cuántos puntos con coordenadas enteras las gráficas del plano [matemáticas] f (x, y) = 2x + 3y [/ matemáticas] y el paraboloide hiperbólico [matemáticas] g (x, y) = xy [/ math] se cruzan? ” La respuesta es 8 y los puntos son: (2, -4, -8), (-3,1, -3), (1, -1, -1), (0, 0, 0), (6,4,24), (5,5 , 25), (9,3,27), (4,8,32).