¿Es x = x verdadero? ¿Por qué?

Sí, con una advertencia: x debe ser significativo.

La igualdad define una relación binaria en cualquier conjunto. (Uno puede tener igualdad en la teoría de categorías y otros ámbitos de las matemáticas; lo importante aquí es que la igualdad debe definirse en el contexto de alguna estructura, a la que me referiré como un conjunto para esta discusión, pero puede ajustarla como desee .) Se considera axiomático que cualquier elemento de cualquier conjunto es igual a sí mismo. Eso significa que se supone que se basa en ser aparente. No todo se puede demostrar en matemáticas: si no tiene un punto de partida fundamental con ciertos conceptos que son tan básicos como se supone, entonces se requerirían pruebas de cosas cada vez más básicas hasta el infinito (y nunca llegaría a ningún lado) o la lógica tendría que volverse circular (y los resultados claramente no serían válidos).

Algunas personas han argumentado que para x = x , podemos restar x de ambos lados para obtener 0 = 0, lo cual es claramente cierto en el contexto de entidades numéricas. Sin embargo, el alcance de este axioma es mucho más amplio que solo conjuntos de números. Por ejemplo, tome el conjunto de todas las personas que obtuvieron doctorados en 2016 en el departamento de matemáticas de la Universidad XYZ: la resta no tiene relevancia para este conjunto y, sin embargo, An O = An O si An O obtuvo un doctorado en 2016 en el departamento de matemáticas de XYZ Universidad.

Ahora, ¿qué quiero decir con que x debe ser significativo? Para ser un elemento de un conjunto, un valor debe ser significativo. Por ejemplo, 0/0 no está definido y, por lo tanto, no es significativo para ser considerado como un elemento de un conjunto. Como 0/0 no puede ser un elemento de un conjunto sin un significado definido, no puede compararse consigo mismo ni con ningún elemento. Es demasiado frecuente ver en Quora y otros argumentos matemáticos para “probar” (como 1 = 2) o “refutar” algo y un paso clave de la prueba es 0/0 = 0/0. Esa no es una declaración válida y, como consecuencia, invalida la “prueba” o la “prueba”. Y si 0/0 no es igual a sí mismo, seguro que no es igual a nada más. Es divertido y frustrante al mismo tiempo que muchas personas vean rápidamente esta invalidez en una “prueba 1 = 2”, pero no notan la misma falla al usar 0⁰ = 0/0 para “probar” que 0⁰ no está definido.

La discusión anterior parece muy sencilla. Los lectores pueden preguntar: “¿Por qué estoy perdiendo el tiempo leyendo hechos tan obvios y triviales?” Sin embargo, el significado de la igualdad puede convertirse en un desafío filosófico y, en consecuencia, en la implementación en lenguajes de programación. ¿Quieres una identidad de objeto e igualdad física o quieres un contenido y una igualdad semántica? Por ejemplo, por supuesto, una moneda de $ 1 es igual a sí misma y un billete de $ 1 es igual a sí mismo. ¿Quieres que dos monedas de $ 1 sean iguales porque tienen el mismo valor y uso o quieres que sean desiguales porque son monedas distintas? Si acepta dos monedas de $ 1 como iguales, ¿cómo desea tratar una moneda de $ 1 y un billete de $ 1, como iguales porque tienen el mismo valor o desiguales porque uno puede usarse en una ranura de monedas pero el otro no? Los lenguajes de programación varían en términos de las variaciones de tonos de igualdad que admitirán.