¿Por qué se desarrolló el álgebra lineal?

Answer 1

La primera aplicación que conozco fue que Gauss predijo la órbita de una de las lunas de Júpiter que solo se había observado brevemente. Tenía una gran variedad de ecuaciones lineales en muchas incógnitas y necesitaba una forma algorítmica para resolverlas.

Se puede usar el álgebra lineal para resolver exactamente ecuaciones lineales en generalidad completa, obtener heurísticas muy útiles y transformar muchos problemas en otros más simples. Además, a menudo se tienen criterios muy explícitos para saber exactamente cuándo funcionará un método. Se hizo común que otras áreas de las matemáticas hicieran un trabajo serio para reducir un problema difícil al álgebra lineal y luego explotar estas técnicas para pulirlo. Por ejemplo, la geometría diferencial, las ecuaciones diferenciales, el análisis armónico y el análisis funcional tienen ideas de álgebra lineal muy importantes en su núcleo. En cierto sentido, el álgebra abstracta ha visto la estructura del álgebra lineal como una luz guía sobre cómo explorar las diversas otras teorías que han surgido a medida que exploramos el universo que nos rodea.

Con el tiempo, muchas áreas científicas descubrieron que el álgebra lineal proporcionaba no solo una herramienta útil, sino una excelente fuente de intuición en temas difíciles. Los estadísticos utilizaron álgebra lineal para generalizar la distribución normal a muchas variables. Los físicos comenzaron a interpretar los vectores propios de longitud uno como “estados físicos permitidos” y frecuentemente usaban descomposiciones de valores propios para dividir problemas complicados en sus componentes clave. Los sistemas dinámicos complicados que describen las poblaciones de moscas de la fruta o las tendencias económicas pueden descomponerse con la misma heurística que desarrollamos en álgebra lineal para proporcionar predicciones a largo plazo completas con una estimación de su robustez.

En resumen, el álgebra lineal se desarrolló porque fue inmediatamente útil y explícito, y continuó desarrollándose porque permaneció así durante 100 años, mientras que además agregó algo de intuición central a los sujetos mucho más difícil.

Answer 2

El álgebra lineal es vital en múltiples áreas de la ciencia en general. Debido a que las ecuaciones lineales son tan fáciles de resolver, prácticamente todas las áreas de la ciencia moderna contienen modelos donde las ecuaciones se aproximan mediante ecuaciones lineales (usando argumentos de expansión de Taylor) y la resolución del sistema ayuda a desarrollar la teoría.