Cómo determinar la serie de Taylor para f (X) = ln X en X = 1

Answer 1

a.

Aproximación en serie de Taylor de f (x) alrededor de x = 1

Aproximación en serie de Taylor de ln (x) alrededor de x = 1

La notación sigma es

converge, ya que ABS (1 – 1.2) <1

si. Debería poder resolver el valor de n para el cual el término de la expansión de la serie es menor que 0.001, pero tengo dificultades para lograr que Wolfram Alpha lo haga por alguna razón, así que simplemente calculé cada término (estableciendo x = 1.2) hasta que obtuve un resultado inferior a 0.001. Estaba en el término para n = 4:

ABS (1/4 (1.2-1) ^ 4) – Wolfram | Alpha

Así que mantenga todos los términos hasta n = 4:

(1.2-1) -1/2 (1.2-1) ^ 2 + 1/3 (1.2-1) ^ 3-1 / 4 (1.2-1) ^ 4

Redondea al tercer decimal para obtener 0.182

La diferencia entre esto y el valor real 0.182322 … es

0.000322 …, menos de 0.001

Si se hubiera mantenido solo en el término n = 3, habría redondeado a 1.83 y habría estado fuera por más de 0.001

Por supuesto, si no redondeó en n = 3, la aproximación habría sido 0.182666 …, que también es menor que 0.001 diferente del valor correcto … hm …

Espero que esto ayude…

Answer 2

Uno puede expandir fácilmente [matemática] \ ln (1 + y) [/ matemática] aproximadamente [matemática] y = 0 [/ matemática], a saber [matemática] \ ln (1 + y) = \ Sigma_ {j = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {j + 1} y ^ j} {j} [/ math] (¡calcule esto!). Luego, sustituya [matemáticas] x = 1 + y [/ matemáticas] y obtenemos [matemáticas] \ ln (x) = \ Sigma_ {j = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {j + 1} (x-1) ^ j} {j} [/ math] como la expansión de Taylor sobre [math] x = 1 [/ math].

Haga las estimaciones de Taylor para [matemáticas] x = 1.2 [/ matemáticas] o [matemáticas] y = 0.2 [/ matemáticas]. Querrá tener esa [matemática] \ frac {0.2 ^ {N + 1}} {N + 1} <0.0005 [/ matemática]. Elija [matemáticas] N> \ log (0.0005) / \ log (0.2) – 1 \ aproximadamente 3.7 [/ matemáticas] y debería estar bien. Es decir, sumar los primeros cuatro términos, a saber, [matemáticas] \ ln (1.2) \ approx \ frac {0.2} {1} – \ frac {0.2 ^ 2} {2} + \ frac {0.2 ^ 3} {3} – \ frac {0.2 ^ 4} {4} \ aprox 0.182. [/ Math]