Replanteemos la pregunta con más cuidado. En los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math], no hay raíz cuadrada de [math] -1 [/ math]. Tampoco hay un inverso multiplicativo de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (que es lo que quieres decir cuando escribes [matemáticas] 1/0 [/ matemáticas]). En álgebra, cuando queremos trabajar con tipos de números que aún no tenemos, los juntamos. Es decir, planteamos su existencia y vemos qué reglas del álgebra siguen siendo verdaderas.
La raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas]
¿Qué sucede si adjuntamos un número [math] i [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] i ^ 2 = -1 [/ math]? Para que el sistema numérico resultante se cierre con la suma y la multiplicación, nos vemos obligados a considerar el conjunto más grande
[matemáticas] \ mathbb {C} = \ {a + bi | a, b \ in \ mathbb {R} \} [/ math],
- ¿Se pueden encontrar las raíces exactas de [matemáticas] x ^ 4 + x – 1 [/ matemáticas]?
- Cómo determinar la serie de Taylor para f (X) = ln X en X = 1
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] 5 ^ {x + 1} = 6 ^ y [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {x + y} = 3 ^ {x – y }[/matemáticas]?
- Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a 6x + 5y = – 2 y que pasa por (-3, 8)?
- ¿Cómo es la derivada de [math] \ ln (x) [/ math] igual a [math] \ frac1x [/ math]?
llamados los números complejos . Decimos que [math] \ mathbb {C} [/ math] es generado por [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] i [/ math] bajo las operaciones de suma y multiplicación. Es el “sistema de números” más pequeño (que usa el término libremente aquí) que contiene [matemáticas] i [/ matemáticas] y los números reales; cualquier otro sistema numérico de este tipo necesariamente contiene todo [math] \ mathbb {C} [/ math].
Lo interesante es que podemos demostrar que todas las reglas habituales de álgebra (asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de inversos multiplicativos para todos los números distintos de cero) en [math] \ mathbb {R} [/ math] se mantienen en [math] \ mathbb {C} [/ math], también. Decimos que [math] \ mathbb {C} [/ math] es un campo.
El inverso multiplicativo de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]
No dejes que nadie te diga que no puedes dividir por cero. ¡Por supuesto que puede! Por la presente declaro que [math] \ mathbb {S} [/ math], los números tontos , son el “sistema de números” generado por [math] \ mathbb {R} [/ math] y un elemento [math] s [/ matemática] tal que [matemática] 0 \ cdot s = 1 [/ matemática].
Veamos qué tipo de monstruo hemos creado. Para comenzar:
[matemáticas] 2 = 2 \ cdot 1 = 2 \ cdot (0 \ cdot s) [/ math].
Todo lo que usamos aquí es un hecho sobre los números reales (primera igualdad) y la propiedad definitoria de [math] s [/ math] (segunda igualdad). Si la multiplicación es asociativa, esto implica
[matemáticas] 2 = (2 \ cdot 0) \ cdot s = 0 \ cdot s = 1 [/ math].
La primera igualdad es la asociatividad aplicada a la ecuación anterior. El segundo y el tercero son un hecho sobre los números reales y la propiedad definitoria de [math] s [/ math], respectivamente. Pero [math] 2 \ neq 1 [/ math] en [math] \ mathbb {R} [/ math], por lo que no puede ser cierto que [math] \ mathbb {S} [/ math] contenga [math] \ mathbb {R} [/ math] a menos que la multiplicación ya no sea asociativa.
Hay álgebras interesantes no asociativas sobre los números reales, como los octoniones y las álgebras de Lie. Sin embargo, esos ejemplos comparten una propiedad importante de la que carece [math] \ mathbb {S} [/ math]: son álgebras sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] (este es un significado técnico de la palabra álgebra , no su significado general como campo de las matemáticas). Para ver que [math] \ mathbb {S} [/ math] no lo es, todo lo que necesitamos saber es que en [math] \ mathbb {R} [/ math] -algebra, [math] (- 1) \ cdot v [/ math] es el inverso aditivo de [math] v [/ math] para cualquier elemento [math] v [/ math]. Si eso fuera cierto para [math] \ mathbb {S} [/ math], tendríamos:
[matemática] 1 = 0 \ cdot s = (1 + (-1)) \ cdot s = s + (-1) \ cdot s = 0 [/ math].
Pero sabemos que [math] 1 \ neq 0 [/ math] en [math] \ mathbb {R} [/ math].
Entonces, si [math] \ mathbb {S} [/ math] es algo, es un extraño anillo no asociativo que contiene [math] \ mathbb {R} [/ math] pero no es un álgebra sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]. En este punto, estamos lo suficientemente lejos del álgebra habitual que sospecho que dejaste de leer hace varios párrafos.
Resumen:
Si quieres dividir entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas], tendrás que estirar tu noción de “álgebra” hasta que sea (probablemente, para ti y para la mayoría de las otras personas, la mayoría de las veces) inútil.
Las “malas relaciones” como [matemática] 0 \ cdot s = 1 [/ matemática] son más naturales de tratar cuando consideramos álgebras de cociente en lugar de subálgebras. Un subálgebra es simplemente un subconjunto de un álgebra que es en sí mismo un álgebra. Cuando une [math] i [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] para obtener [math] \ mathbb {C} [/ math], está expresando [math] \ mathbb {R} [/ math] como un subalgebra de [math] \ mathbb {C} [/ math]. Las álgebras de cociente son la construcción dual. Desafortunadamente, como es cierto varias veces en matemáticas, somos educados para comprender las subálgebras mucho mejor que sus álgebras de cociente de doble noción. Lo mismo ocurre con las álgebras y su doble noción, coalgebras.