Cómo calcular [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ text {erf} (x) [/ math]

Answer 1

Tenga en cuenta que la función de error es [math] \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} dt [/ math] [He arreglado esto en la pregunta]. Para mostrar la convergencia, simplemente puede observar que para [matemáticas] t> 1, -t ^ 2 <-t \ to e ^ {- t ^ 2} <e ^ {- t} [/ matemáticas], ya que exp es un función de aumento monótono, y puede calcular explícitamente [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ int_0 ^ xe ^ {- t} dt [/ math] para mostrar que converge.

En realidad, calcular [math] \ int_0 ^ \ infty e ^ {- t ^ 2} dt [/ math] es más desafiante, pero se puede lograr con un truco bien conocido. Tenga en cuenta que el integrando es una función par, por lo que podemos escribir

[matemáticas] 2 \ int_0 ^ \ infty e ^ {- t ^ 2} dt = [/ matemáticas] [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- t ^ 2} dt [/ matemáticas]

Deje [math] I = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} dt [/ math]. Considere lo que sucede cuando cuadramos 2I:

[matemáticas] (2I) ^ 2 = (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} dt) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} dt) ([/ math] [math] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- s ^ 2} ds) [/ math]

Usando el teorema de Fubini (comprobando las condiciones habituales de regularidad y diferenciabilidad) podemos combinarlos en una integral doble

[matemáticas] 4I ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (t ^ 2 + s ^ 2 )} ds dt [/ math]

Y ahora el truco es cambiar a coordenadas polares: [math] r = \ sqrt {t ^ 2 + s ^ 2}, 0 \ leq \ theta \ lt 2 \ pi, ds dt = r dr d \ theta [/ math ] (la última relación proviene del jacobiano de la transformación de coordenadas)

[matemáticas] 4I ^ 2 = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- r ^ 2} r dr d \ theta [/ math]

Pero la integral en r puede calcularse usando la sustitución au [matemática] u = r ^ 2, du = 2 r dr [/ matemática]

Entonces obtenemos

[matemáticas] 2 \ pi \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac12e ^ {- u} du = \ pi (-e ^ {- u} | ^ {\ infty} _ {0}) = \ pi [ /matemáticas]

Pero en realidad estamos buscando [matemáticas] I [/ matemáticas] y [matemáticas] 4I ^ 2 = \ pi \ to I = \ frac {\ sqrt \ pi} {2} [/ matemáticas]

Answer 2

Desde sus comentarios a otras respuestas, parece que solo necesita la prueba de que converge, no la evaluación exacta. Entonces va así. Para [matemáticas] t> 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] \ begin {align *} t & – t ^ {2} \\ e ^ {- t} &> e ^ {- t ^ {2}} \ end { alinear *} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dx \ le \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \, dx. [/ matemáticas]

Como [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \, dx <\ infty [/ math], [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dx <\ infty [/ math] también.

¡Entonces la evaluación exacta se lleva a cabo como las otras respuestas han escrito!

Answer 3

La siguiente es una gráfica de la función de error [math] \ textrm {erf} (x) [/ math]:

Está claro en la gráfica que [math] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ textrm {erf} (x) = 1 [/ math]. Entonces, desde

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \, dt = 1 [/ math]

entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \, dt = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}. [/ math]