Cómo encontrar 10 ^ 1.026 sin usar calculadora o tabla de registro

Answer 1

Consideremos la siguiente función:

[matemáticas] \ displaystyle {f (x) = 10 ^ x} [/ matemáticas]. Entonces:

[matemática] \ displaystyle {f ‘(x) = 10 ^ x \ mathrm {ln} 10} [/ math]

Además, con [matemáticas] \ displaystyle {| h | \ ll 1} [/ math], uno puede escribir:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {f (x + h) – f (x)} {h} \ approx f ‘(x) \ Rightarrow f (x + h) \ approx f (x) + hf’ (x )}[/matemáticas]

Al elegir [matemáticas] \ displaystyle {x = 1, h = 0.026 \ ll 1} [/ matemáticas] se obtiene [matemáticas] \ displaystyle {f (1.026) = f (1 + 0.026) = f (1) + 0.026 \ cdot f ‘(1)} [/ math], es decir:

[matemáticas] \ displaystyle {10 ^ {1.026} \ aprox 10 ^ 1 + 0.026 \ cdot 10 ^ 1 \ cdot \ mathrm {ln} 10 \ aprox 10 + 0.026 \ cdot 10 \ cdot 2.303 \ aprox 10.599} [/ matemáticas]

con [math] \ displaystyle {\ mathrm {ln} (10) \ aprox 2.303} [/ math]

Nota: para lograr mayores órdenes de precisión, se puede considerar hacer uso de la expansión Taylor.

Answer 2

Deje [math] \ epsilon = 0.026 [/ math]

[matemáticas] 10 ^ {\ epsilon} = e ^ {\ epsilon \ log (10)} \ aprox (1+ \ epsilon log (10)) [/ math]

[math] \ log (10) = \ log (e ^ 2 \ frac {10} {e ^ 2}) = 2 – [/ math] [math] log (\ frac {e ^ 2} {10}) [ /matemáticas]

[matemáticas] e \ aprox 2.72 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ 2 \ aprox 7.40 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {e ^ 2} {10} \ aproximadamente 0.740 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ log (10) \ aprox 2 – [/mathfont>[mathfont>log(0.740)[/math]

[matemática] \ log (0.740) \ aprox – [/ matemática] [matemática] 0.260 – \ frac {0.260 ^ 2} {2} – \ frac {0.260 ^ 3} {3} \ aprox -0.300 [/ matemática]

[matemáticas] \ log (10) \ aproximadamente 2 – [/mathfont>[mathfont>log(0.740) \ aproximadamente 2.300 [/ math]

[matemáticas] 10 ^ {\ epsilon} \ aprox 1+ \ epsilon log (10) \ aprox 1+ \ epsilon 2.300 = 1 + 0.026 \ veces 2.300 \ aprox 1.060 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 ^ {1+ \ epsilon} \ aprox 10 \ veces 1.060 = 10.60 [/ matemáticas]

[La respuesta correcta es 10.62 (4sf)]

Answer 3

Puede pensar en el decimal, que es la potencia [matemática] 1.026 [/ matemática], que puede escribirse como una fracción [matemática] \ frac {513} {500} [/ matemática] y luego escribir todo como [ matemáticas] 10 ^ {\ frac {513} {500}} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ sqrt [500] {10 ^ {513}} [/ matemáticas],

Gracias por la A2A