Cómo resolver esto [matemáticas] e ^ x = \ sqrt {x} [/ matemáticas]

Answer 1

Sabemos que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es el inverso de [matemáticas] \ ln (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln (e ^ x) = x [/ matemáticas], como

[matemáticas] x \ ln (e ^ 1) = 1x = x [/ matemáticas]

Y, [matemáticas] \ ln [/ matemáticas] es el logaritmo wrt [matemáticas] e [/ matemáticas]

Podemos [matemáticas] \ ln [/ matemáticas] ambos lados y obtenemos,

[matemáticas] \ ln (e ^ x) = \ ln (\ sqrt {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ ln (\ sqrt {x}) [/ matemáticas]

Vamos a ver, cuando [matemáticas] x = 1, [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = \ ln (\ sqrt {1}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = 0 [/ matemáticas]

Lo que no funciona.

Entonces no hay solución.

Observar un gráfico en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ln (\ sqrt {x}) [/ matemáticas]

No se tocan en ningún momento.

Gracias por la A2A

Answer 2

Como se mencionó en otras respuestas, no existe una solución real para la ecuación dada.

Resolver la ecuación [matemáticas] e ^ x = \ sqrt {x} [/ matemáticas] con Mathematica da la solución principal: [matemáticas] x = – \ frac {1} {2} W (-2) [/ matemáticas], donde [math] W (x) [/ math] es la función Lambert de ProductLog [].

El resultado anterior es numéricamente igual a:

[matemáticas] x = [/ matemáticas] -0.0864080014199999878728795728902281814881807591029783724756 – 0.8368432068704213385944008889835405019666076407067867737342 i

Al trazar las partes reales e imaginarias de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {x} [/ matemáticas] con Mathematica se obtiene el siguiente resultado:

Usando el símbolo FindInstance [] Mathematica, uno puede encontrar muchas soluciones complejas valoradas. Éstos son algunos de ellos :

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 2.076580428040295674356252766263816880227313388062858897380 +

63.600931953895395436116524828368313967227685006416518775150 i

[matemáticas] x = [/ matemáticas] -0.08640800141999998787287957289022818148827630805585642944275 –

0.83684320687042133859440088898354050196668965786808586563202 i

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 2.81246836991590813463005580060695672331599244115144996974 –

277.24047959909308204310376995582029369057434466543926436012 i

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 2.88608852837231507785271968395106554181737171780163038804 –

321.22335661127048809391004142790526026761259124880706990641 i

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 2.510604119467880669520508557253801997114481174309652339419 –

151.573564492213904578684777790150548521886055626213775227873 i

[matemáticas] x = [/ matemáticas] 2.683978237517775797268269274511370647604976782420914049327 –

214.407439874000136632845260968451529336623850996029031889328 i

Answer 3

No hay una solución real.

Ambos son monotónicamente positivos, y la raíz cuadrada de x solo se define en números no negativos. En el intervalo [0, 1], la imagen de e ^ x es el intervalo [1, e], y la imagen de [math] \ sqrt {x} [/ math] es el intervalo [0, 1]. Como podemos ver, la derivada de [matemática] e ^ x [/ matemática] es [matemática] e ^ x [/ matemática], y la derivada de [matemática] \ sqrt {x} [/ matemática] es [matemática] \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math], y para cualquier número real x mayor que 1, [math] e ^ {x}> [/ math] [math] \ frac {1} { 2 \ sqrt {x}} [/ math], lo que significa que [math] \ sqrt {x} [/ math] nunca se pone al día.

Asumí que solo preguntabas por soluciones reales, así que dime si me equivoqué en esa suposición.

Answer 4

El lado izquierdo de la ecuación es mayor que el lado derecho para todos los números reales no negativos, porque e ^ 0 = 1> 0 ^ (1/2) = 0, y el lado izquierdo crece más rápido que el lado derecho (mucho más rápido) )

El lado derecho no está definido para valores negativos, por lo que no hay soluciones.

Answer 5

Como las respuestas aquí consideran soluciones reales, consideremos soluciones complejas. Primero, existe una función interesante llamada Función Lambert W, que es la inversa de la función [matemáticas] f (z) = ze ^ z [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] W (ze ^ z) = z [/ matemáticas]. Esta función no se puede expresar en términos de funciones elementales, por cierto, por lo que estamos atascados con esa definición. Sin embargo, manipular la ecuación dada nos da

[matemáticas] \ begin {align *} e ^ {- x} \ sqrt {x} & = 1 \\ e ^ {- 2x} x & = 1 \\ e ^ {- 2x} (-2x) & = – 2 \\ -2x & = W (-2) \\ x & = – \ tfrac {1} {2} W (-2) \ end {align *} [/ math]

Esta función también tiene varios valores, y creo que cuadrar ambos lados podría afectar la solución, pero no estoy seguro. Pero aparte de eso, el valor principal de la solución nos da [math] x = -0.086408 \ ldots – 0.836843 \ ldots i [/ math], que verifica con el valor que WolframAlpha da para la ecuación original, excepto que el conjugado es falta de alguna manera: no estoy muy familiarizado con la función Lambert W.

Answer 6

Esta trama de Wolfram Alpha debería responder a su pregunta:

Como puede ver, e ^ x y x ^ 0.5 convergen en -infinito.

Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución.