¿Es [matemática] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = a + b [/ matemática]?

Answer 1

Una regla general para responder preguntas como esta es que si puede encontrar un solo ejemplo de contador (un caso donde [math] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ neq a + b [/ math]), entonces sabes que la respuesta, en general, es “no, no lo es”.

En este caso, puede ver la parte [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemática] y pensar “Eso parece parte de la ecuación pitagórica, [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [ / math] “, y recuerde que 3-4-5 es un” triple pitagórico “. Efectivamente, [matemáticas] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ^ 2 [/ matemáticas]. Sacar la raíz cuadrada de ambos lados te da [matemáticas] \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5

Pero [matemáticas] 3 + 4 = 7 \ neq 5 [/ matemáticas], por lo que no tiene [matemáticas] \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 3 + 4 [/ matemáticas].

Tienes un contraejemplo. [matemáticas] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ neq a + b [/ matemáticas] cuando [matemáticas] a = 3, b = 4 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la respuesta es, en general, “no, no lo es”.

Answer 2

no, no es verdad

por ejemplo tome a = 1, b = 2

entonces sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (1 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (1 + 4) = sqrt (5) = 2.236067977

que no es igual a a + b = 3

entonces la declaración anterior es incorrecta

Answer 3

Quiero combinar un par de ideas mencionadas en estas respuestas en una sola respuesta.

Si alguna vez has mirado el teorema de Pitágoras, podrías obtener la pista de que esta afirmación es falsa. (Eso cambiaría el teorema a a + b = c.) La forma más rápida de refutar una declaración como esta es por contraejemplo.

¿[Matemáticas] \ sqrt {1 ^ {2} + 1 ^ {2}} = 1 + 1 [/ matemáticas]?

Como [math] \ sqrt {2} [/ math] no es igual a 2, podemos concluir que esto es falso.

---

¿Por qué?

Si tuviera la declaración [math] \ sqrt {a ^ {2} b ^ {2}} [/ math] esto podría simplificarse a ab, pero eso es porque esa declaración es lo mismo que decir [math] \ sqrt { (ab) (ab)} = \ sqrt {(ab) ^ {2}} [/ math]. Pero [matemáticas] \ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} [/ matemáticas] no es igual a [matemáticas] \ sqrt {(a + b) (a + b)} [/ matemáticas]. Podemos confirmar esto, porque [matemáticas] (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} [/ matemáticas].

Entonces, mientras [math] \ sqrt {a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} = a + b [/ math] la declaración original es falsa.

Answer 4

No.

Un gran no, es lo único que puedo decir. Porque, no hay expansión de potencia cuadrada de [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]. Esto es lo que los estudiantes confunden incluso si conocen el teorema binomial.

[matemáticas] (a + b) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + ab + ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

No, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

La única expansión posible para [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] es,

[matemáticas] (a + bi) (a-bi) [/ matemáticas]

Answer 5

No, por la misma razón que [matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (2a \ right) ^ {2b} [/ math] no es igual a [math] a ^ b [/ math].

El factor de 1/2 no se aplica a ambas partes del exponente individualmente, y la raíz cuadrada no se aplica a ambas partes de la suma individualmente.

Answer 6

Depende. Podemos resolver esta ecuación cuadrando cada lado para obtener (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = a ^ 2 + b ^ 2. Restando a ^ 2 + b ^ 2 de ambos lados, obtenemos 2ab = 0. Esto es cierto si a = 0 o b = 0.

WLOG Sea a = 0. Entonces, obtenemos sqrt (b ^ 2) = b. Esto solo es cierto cuando b> = 0.

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Entonces, sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = a + b solo cuando a = 0 o b = 0, y tanto a como b son> = 0.

Answer 7

[math] \ large \ displaystyle \ rightarrow [/ math] NO.

Déjame darte una contradicción.

Deje [math] \ large \ displaystyle a = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

y [math] \ large \ displaystyle b = \ large \ displaystyle 1 [/ math]

Ahora, LHS

[matemáticas] \ hspace {18 mm} \ large \ displaystyle \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} = \ large \ displaystyle \ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ large \ displaystyle \ sqrt {2} [/matemáticas]

y RHS,

[matemáticas] \ hspace {22 mm} \ large \ displaystyle a + b = \ large \ displaystyle 1 + 1 = \ large \ displaystyle 2 [/ math]

Claramente,

[matemáticas] \ hspace {28 mm} \ large \ displaystyle \ boxed {\ sqrt {2} \ large \ displaystyle \ neq \ large \ displaystyle 2} [/ math]

Por lo tanto ,

[matemáticas] \ hspace {20 mm} \ large \ displaystyle \ boxed {\ boxed {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ large \ displaystyle \ neq \ large \ displaystyle a + b}} [/ math]

[matemáticas] \ grande \ displaystyle \ blacksquare [/ matemáticas]

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 8

No lo es. Eso implicaría que (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2, que sabemos que es falso.

Moraleja de la historia: la exponenciación no es distributiva.