Este es particularmente interesante, lo había estado mirando durante algún tiempo sin mucha suerte hasta ahora. Veamos un caso general.
[matemáticas] I (a) = \ int_0 ^ a \ frac {\ ln (1 + ax)} {1 + x ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]
donde [math] a [/ math] es un parámetro real y estamos esencialmente interesados en [math] a = 2 [/ math]. Diferenciando la integral wrt [matemática] a [/ matemática] (por medio de la regla integral de Leibniz) obtenemos
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} I (a)} {\ mathrm {d} a} = \ left. \ frac {\ ln (1 + ax)} {1 + x ^ 2} \ right \ vert_ {x = a} + \ int_0 ^ a \ frac {\ partial} {\ partial a} \ frac {\ ln (1 + ax)} {1 + x ^ 2} \ mathrm {d} x [/ math]
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[matemáticas] = \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} + \ int_0 ^ a \ frac {x} {(1 + ax) (1 + x ^ 2)} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]
la integral de la rhs se evalúa mediante fracciones parciales (que omito) y obtenemos
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} a} = \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} + \ left. \ frac {1 } {1 + a ^ 2} \ left (a \ tan ^ {- 1} (x) – \ ln (1 + ax) + \ frac {1} {2} \ ln (1 + x ^ 2) \ right ) \ right \ vert_0 ^ a [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} + \ frac {a} {1 + a ^ 2} \ tan ^ {- 1} (a) [/ matemáticas]
Para recuperar [matemáticas] I (a) [/ matemáticas] simplemente integramos la ecuación anterior wrt [matemáticas] a [/ matemáticas] de la siguiente manera
[matemáticas] I (a) = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} \ mathrm {d} a + \ int \ frac {a } {1 + a ^ 2} \ tan ^ {- 1} (a) \ mathrm {d} a [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} \ mathrm {d} a + \ frac {1} {2} \ int \ frac {2a} {1 + a ^ 2} \ tan ^ {- 1} (a) \ mathrm {d} a [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} \ mathrm {d} a + \ frac {1} {2} \ int \ tan ^ {- 1} (a) \ mathrm {d} (\ ln (1 + a ^ 2)) [/ math]
integrando la segunda integral por partes llegamos a
[matemáticas] I (a) = \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} \ mathrm {d} a + \ frac {1} { 2} \ ln (1 + a ^ 2) \ tan ^ {- 1} (a) – \ frac {1} {2} \ int \ frac {\ ln (1 + a ^ 2)} {1 + a ^ 2} \ mathrm {d} a + K [/ math]
donde las integrales se cancelan mutuamente dejando una constante arbitraria, por supuesto, que puede ser fijada por algún valor particular de [math] I (a) [/ math]. Una elección natural sería [matemática] I (0) [/ matemática] que se convierte en [matemática] 0 [/ matemática] trivialmente, lo que implica que [matemática] K = 0 [/ matemática] y el resultado que hemos encontrado se lee
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int_0 ^ a \ frac {\ ln (1 + ax)} {1 + x ^ 2} \ mathrm {d} x = \ frac {1} {2} \ ln (1+ a ^ 2) \ tan ^ {- 1} (a)} [/ math]
y de hecho para [math] a = 2 [/ math] encontramos acuerdo con Wolfram Alpha. Aquí está la SORPRESA, lo que sucede cuando le pide a Wolfram Alpha que calcule la misma integral para una [matemática] a [/ matemática], particularmente no entera [matemática] a [/ matemática], digamos [matemática] \ pi [/ matemáticas]. ¿Todavía obtienes la expresión de forma cerrada que hemos encontrado anteriormente?
Salud !