[matemática] \ text {Reclamación 1} [/ matemática]: La función [matemática] g [/ matemática] tal que [matemática] g (x) = sin (x) [/ matemática] es continua en cada número real [matemática ] x_0. [/ matemáticas]
Prueba: para demostrar que [matemáticas] g [/ matemáticas] es continua en [matemáticas] x = x_0, [/ matemáticas] necesitamos demostrar que
[matemáticas] \ forall \ epsilon> 0 \; \ exist \ delta> 0 \; (| x-x_0 | <\ delta \ implica | g (x) -g (x_0) | <\ epsilon) [/ matemáticas]
[matemáticas] | sin (x) -sin (x_0) | [/ matemáticas]
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[matemáticas] = \ left | 2cos \ left (\ dfrac {x + x_0} {2} \ right) sin \ left (\ dfrac {x-x_0)} {2} \ right) \ right | [/ math]
[matemáticas] \ leq \ left | 2sin \ left (\ dfrac {x-x_0} {2} \ right) \ right | [/ math]
[matemática] \ leq \ left | 2 \ dfrac {x-x_0} {2} \ right | [/ math] (porque [math] | sin (z) | <| z | [/ math] por cada [math] z) [/ matemáticas]
= [matemáticas] | x-x_0 |. [/ matemáticas]
Deje que [math] \ epsilon> 0 [/ math] sea dado. Elija [math] \ delta = \ epsilon [/ math] y suponga que [math] | x-x_0 | <\ delta = \ epsilon. [/ Math]
Entonces, [math] | sin (x) -sin (x_0) | \ leq | x-x_0 | <\ epsilon. [/ Math]
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
[matemática] \ text {Reclamación 2} [/ matemática]: De manera similar, puede probar que la función [matemática] h [/ matemática] tal que [matemática] h (y) = cos (y) [/ matemática] es continua en cada número real [matemática] y_0. [/ matemática] (lo dejaré como ejercicio)
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
[matemática] \ text {Reclamación 3} [/ matemática]: si una función [matemática] g [/ matemática] es continua en [matemática] x_0 [/ matemática] y una función [matemática] h [/ matemática] es continua en [matemática] y_0, [/ matemática] donde [matemática] y_0 = g (x_0), [/ matemática] entonces la función [matemática] f = h \ circ g [/ matemática] es continua en [matemática] x_0. [/ matemáticas]
Prueba: como [math] h [/ math] es continuo en [math] y_0 [/ math], la siguiente afirmación es verdadera
[matemáticas] \ forall \ epsilon> 0 \; \ exist \ delta_1> 0 \; (| y-y_0 | <\ delta_1 \ implica | h (y) -h (y_0) | <\ epsilon)… .. (1) [/ math]
Además, dado que [math] g [/ math] es continuo en [math] x_0, [/ math] la siguiente afirmación es verdadera
[matemáticas] \ existe \ delta_2> 0 \; (| x-x_0 | <\ delta_2 \ implica | g (x) -g (x_0) | <\ delta_1)… .. (2) [/ math]
Si dejamos [math] y = g (x) [/ math] y usamos [math] (1) \ text {and} (3) [/ math] con el hecho de que [math] y_0 = g (x_0), [/ math] obtenemos
[matemáticas] \ forall \ epsilon> 0 \; \ exist \ delta_2> 0 \; (| x-x_0 | <\ delta_2 \ implica | h (g (x)) – h (g (x_0)) | <\ epsilon) [/ math]
Esto prueba que [math] f = h \ circ g [/ math] es continuo en [math] x_0 [/ math]
[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
Usando la reivindicación 3 con [matemática] g (x) = sin (x) [/ matemática] y [matemática] h (y) = cos (y), [/ matemática] la función [matemática] f = h \ circ g [/ math] es continuo.