¿Qué es el grupo transitivo 2 en álgebra abstracta?

Answer 1

Lo molesto de la frase “grupo transitivo” (o sus derivados “[math] n [/ math] -transitive group”) es que no es el grupo en sí lo que importa.

En cambio, es la acción (a veces implícita) del grupo en algún conjunto. En otras palabras, un grupo en sí mismo no puede ser “transitivo” o “2 transitivo” o lo que sea, eso representaría un error de categoría.

Una acción transitiva [matemática] G \ curvearrowright X [/ matemática] es aquella donde por cada [matemática] x, y \ en X [/ matemática], existe [matemática] g \ en G [/ matemática] tal que [matemática ] g (x) = y [/ matemáticas]. La acción con una sola órbita. En otras palabras, hasta donde [matemáticas] G [/ matemáticas] sabe, todos los elementos de [matemáticas] X [/ matemáticas] son ​​indistinguibles.

Una acción transitiva 2 es aquella en la que por cada [matemática] x_1 \ neq x_2, y_1 \ neq y_2 [/ matemática], existe [matemática] g \ en G [/ matemática] con [matemática] g (x_1) = y_1 , g (x_2) = y_2 [/ matemáticas]. En otras palabras, excepto por ser igual, [matemáticas] G [/ matemáticas] no puede distinguir la diferencia entre cualquier par de elementos.

Answer 2

(¡Ligeramente reeditado como la respuesta de Matthew Smedberg fue más precisa! Esta es una versión corta).

Es mejor decir “la acción del grupo es 2-transitiva”.

Lo que significa es que tienes un grupo con una acción en algún conjunto (digamos, X), de modo que dados dos pares ordenados (x1, x2) y (y1, y2) de elementos distintos del conjunto X, allí es algún elemento de grupo g para que x1.g = y1 mientras que también x2.g = y2.