Gracias por el A2A.
En realidad, no me gustan este tipo de preguntas de matemáticas sobre Quora y generalmente las ignoro. Es habitual dejar al interrogador con la afirmación de que no existe un antidireccional elemental. En el mejor de los casos, esta afirmación está respaldada por cálculos realizados por un sistema de álgebra computacional. En el peor de los casos, la única justificación de tal reclamo permanece en el nivel intestinal. Uno solo puede preguntarse si hay algo de matemática detrás de esto.
Después de todo, [math] x \ sec x [/ math] no parece más complejo que la mayoría de las otras funciones que tienen antiderivadas elementales.
En cualquier caso, la existencia de antiderivadas elementales se mantiene periférica a la mayoría de los cursos de cálculo y a las aplicaciones en la práctica al menos por las siguientes dos razones:
- Cómo demostrar por inducción que [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k + 1} {n \ elegir k} \ frac {1} {k} = 1 + \ frac {1} {2} +… + \ frac {1} {n}, \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]
- Cómo usar el álgebra para calcular este límite
- Torre de exponente infinito: ¿cómo puede enchufar la raíz cuadrada de 2 el resultado final de 2 y el resultado final de 4?
- Cómo integrar [matemáticas] \ sin ^ 3 (x) dx [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio tenga su coeficiente principal ya que es cero?
- La mayoría de las integrales utilizadas en la práctica pueden / necesitan ser evaluadas solo numéricamente.
- La existencia de la antiderivada elemental es una cuestión de naturaleza puramente algebraica que a menudo resulta en cálculos tediosos que están fuera de lugar en un curso de cálculo estándar.
Antes de que podamos pasar a su pregunta original, primero debemos aclarar:
¿Qué significan las funciones elementales?
Como de costumbre, resulta que es más conveniente trabajar sobre el campo de números complejos [math] \ mathbb {C}. [/ Math]
Claramente, al menos las funciones racionales, en otras palabras, las proporciones de dos polinomios arbitrarios, es decir, elementos del campo [math] \ mathbb {C} (x) [/ math] deben denominarse funciones elementales.
Además, todas las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de algunas [matemáticas] f \ in \ mathbb {C} (x) [/ matemáticas] también deberían llamarse funciones elementales naturalmente.
Más generalmente, la unión de un elemento algebraico a (es decir, la solución de la ecuación polinómica con coeficientes en funciones elementales) produce una nueva función elemental.
Por lo tanto, al menos las expresiones como [math] \ dfrac {\ sqrt [5] {1-x ^ 2 – \ sqrt {x}} + 2x ^ {12}} {x \ sqrt {x} +1} [/ math ] hará a las funciones elementales.
Resulta que otras funciones que generalmente se denominan elementales como [math] \ sin, \ cos, \ arctan, \ ldots [/ math] pueden expresarse en términos de [math] \ exp [/ math] y [math] \ log. [/ math]
Por ejemplo, [matemáticas] \ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}, \; \ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \; (* [/ math]) y sabiendo que la derivada de [math] (\ arctan x) ‘= \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} = \ dfrac {1} {2i} \ left (\ dfrac {1} {xi} – \ dfrac {1} {x + i} \ right) [/ math] se concluye que [math] \ arctan x = \ dfrac {1} {2i} \ ln \ dfrac {xi} { x + i}. [/ matemáticas]
Bueno, intencionalmente ignoré todas las sutilezas que surgen cuando trabajas con funciones de argumentos complejos como una elección de [matemáticas] \ log [/ matemáticas], ramas, dominios de definiciones, singularidades, etc., considerándolas como expresiones algebraicas puramente formales.
Por lo tanto, todo lo que queda es encontrar una manera de cómo se pueden introducir logaritmos y exponenciales en nuestro stock de funciones elementales, lo que básicamente hace posible la construcción de cualquier función elemental.
Esto no es difícil si observamos cómo se ven sus derivados: Sea [matemática] f (x) [/ matemática] una función elemental, luego [matemática] \ exp (f (x)) ‘= f’ (x) \ exp (f (x)) [/ math] y [math] \ ln (f (x)) ‘= \ dfrac {f’ (x)} {f (x)}. [/ math]
Por lo tanto, simplemente debemos unir a las funciones elementales todas las expresiones [math] e (x) [/ math] y [math] l (x) [/ math] cuando sus derivadas se vean como [math] e ‘(x) = e (x ) \ times \ text {derivada de alguna función elemental} [/ math] y [math] l ‘= \ dfrac {\ text {derivada del denominador}} {\ text {alguna función elemental}}. [/ math]
Finalmente, hemos llegado a una definición rigurosa de cuál es la función elemental: es simplemente un elemento de un campo [math] \ mathbb {C} (x, f_1, f_2, \ ldots f_n) [/ math] donde [math ] f_i [/ math] es un elemento algebraico sobre el campo [math] \ mathbb {C} (x, f_1, f_2, \ ldots f_ {i-1}) [/ math] o [math] f_i [/ math ] es el exponencial o logaritmo de algún elemento en [math] \ mathbb {C} (x, f_1, f_2, \ ldots f_ {i-1}). [/ math]
En una terminología algo más elegante, cualquier función elemental es un elemento de alguna extensión diferencial elemental de [math] \ mathbb {C} (x) [/ math] formada por la unión de un número finito de elementos algebraicos o elementos trascendentales de la forma del exponencial o logaritmo.
¿Cómo se relaciona esto con la existencia de anti-derivado? El resultado central que permite resolver este problema es el teorema de Liouville.
Bueno, encontrar una anti-derivada equivale a resolver la ecuación diferencial [matemática] u ‘= f, [/ matemática] para [matemática] f [/ matemática] es una función elemental.
De lo anterior sabemos que [math] f [/ math] se encuentra en alguna extensión diferencial elemental [math] \ mathcal {F} [/ math] de [math] \ mathbb {C} (x). [/ Math]
En términos informales, el teorema de Liuoville dice que la extensión diferencial elemental [matemática] \ matemática {G} [/ matemática] en la que [matemática] u [/ matemática] podría mentir potencialmente no difiere sustancialmente de [matemática] \ matemática { F}, [/ math], es decir, que esta diferencia se encuentra dentro de un número finito de logaritmos de algunos elementos en [math] \ mathcal {F}. [/ Math]
Es decir, [math] f [/ math] puede integrarse en términos elementales si y solo [math] f = \ sum c_i \ dfrac {u_i ‘} {u_i} + v’, [/ math] donde [math] c_i \ in \ mathbb {C}, u_i, v \ in \ mathcal {F}. [/ math]
Ahora volvamos a nuestro problema original: [matemáticas] f (x) = x \ sec x = \ dfrac {x} {\ cos x}. [/matemáticas]
Claramente, [math] f [/ math] se encuentra en la extensión diferencial elemental [math] \ mathcal {F} = \ mathbb {C} (x, p), [/ math] donde [math] p = e ^ {ix }.[/matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] p ‘= ip. [/ Math] Luego, usando la fórmula de Euler (*) para [math] \ cos [/ math] tenemos [math] f (x) = \ dfrac {2px} {p ^ 2 +1}. [/ Matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] u_i = u_i (x, p) [/ math] y [math] v = v (x, p) [/ math] son proporciones de dos polinomios bivariados. Además, si [math] u_i [/ math] es un polinomio de grado [math] d [/ math] en [math] p [/ math] entonces su derivada es un polinomio de grado [math] d [/ math] en [matemáticas] p [/ matemáticas] también.
De ahora en adelante, se puede suponer que [math] u_i [/ math] son polinomios ya que se obtienen todas las razones posibles [math] \ dfrac {u_i ‘} {u_i} [/ math] bajo este supuesto simplificador.
Por lo tanto, podemos preguntarnos si hay algunos polinomios bivariados [matemática] u_i (x, p) [/ matemática] y una función racional [matemática] v (x, p) [/ matemática] tal que
[matemáticas] c_1 \ dfrac {u_1 ‘(x, p)} {u_1 (x, p)} + c_2 \ dfrac {u_2’ (x, p)} {u_2 (x, p)} + \ ldots + c_k \ dfrac {u_k ‘(x, p)} {u_k (x, p)} + v’ (x, p) = \ dfrac {2px} {p ^ 2 +1}. \; (**)[/matemáticas]
Tenga en cuenta que el RHS tiene polos simples para [math] p = \ pm i. [/ Math] Por lo tanto, los únicos denominadores posibles en el RHS son [math] p \ pm i. [/ Math] Descartamos el caso cuando uno de [math] u_i = p ^ 2 + 1 [/ math] ya que en este caso podemos escribirlo como la suma de dos expresiones con denominadores [math] p \ pm i. [/matemáticas]
Observe que el polo en [matemática] p = -i [/ matemática] o [matemática] p = i [/ matemática] de [matemática] v (x, p) [/ matemática] implicaría que su derivada [matemática] v ‘(x, p) [/ math] tiene doble polo allí (aunque se debe tener cuidado ya que [math] \ left (\ frac {1} {p} \ right)’ = – \ frac {i} {p} [ / math], por lo que no es válido para los polos en [math] p = 0 [/ math] pero sigue siendo cierto para los polos en [math] p = \ pm i. [/ math]) Fuerza t [math] v (x, p) [/ math] sea un polinomio.
Por lo tanto, debe contener [matemáticas] c_1 \ dfrac {ip} {p + i} + c_2 \ dfrac {ip} {pi} + v (x, p) = \ dfrac {2px} {p ^ 2 +1}. [ /matemáticas]
Haciendo un poco de álgebra simple tenemos:
[matemáticas] v (x, p) = \ dfrac {2xp -i (c_1 + c_2) p ^ 2 + (c_2-c_1) p} {p ^ 2 + 1} [/ matemáticas]
Esto es claramente imposible ya que el numerador de esta fracción no es divisible por [math] p ^ 2 + 1 [/ math] debido al término [math] 2xp. [/ Math]
Hay una diferencia significativa en el caso cuando [matemática] \ tilde {f} (x) = \ sec x = \ dfrac {2p} {p ^ 2 +1} [/ matemática] donde [matemática] \ tilde {f} [/ math] tiene la antiderivada elemental.
En este caso [matemáticas] \ tilde {v} (x, p) = \ dfrac {2p -i (c_1 + c_2) p ^ 2 + (c_2-c_1) p} {p ^ 2 + 1} [/ matemáticas] y el numerador se puede convertir en cero eligiendo [matemática] c_1 + c_2 = 0, [/ matemática] y [matemática] c_2 -c_1 + 2 = 0. [/ matemática]
Del mismo modo, utilizando el teorema de Liuoville, se puede mostrar, por ejemplo, que [matemáticas] x \ tan x = \ dfrac {x (p ^ 2-1)} {p ^ 2 +1} = \ dfrac {x (q-1)} {q +1} [/ math], donde [math] q = e ^ {2ix} [/ math] no tiene una antiderivada elemental.
Como probablemente haya observado, este tipo de cálculo en campos racionales con muchas variables está lejos de ser agradable, e incluso en este simple ejemplo, algunos de mis argumentos no se mantendrán bajo escrutinio minucioso. Pero, afortunadamente, estas ideas pueden convertirse en algoritmos efectivos que permiten ampliar el stock de funciones elementales con algunas más exóticas como [math] \ mathrm {Li} _s (z) [/ math] como en la respuesta de Reed Oei .