Cómo demostrar que [matemáticas] \ dbinom {n} {0} + 2 \ dbinom {n} {1} + 2 ^ {2} \ dbinom {n} {2} + .. + 2 ^ {n} \ dbinom {n} {n} = 3 ^ {n} [/ matemáticas]

Answer 1

Ya hay una buena respuesta, el resultado está probado usando álgebra. También puede probar el resultado anterior utilizando una prueba de historia . Una prueba de la historia es mucho más perspicaz, da una interpretación e intuición de por qué el resultado es verdadero.

Podemos probar la identidad anterior al mostrar que tanto el LHS como el RHS cuentan lo mismo. Considere [math] n [/ math] canicas etiquetadas [math] 1 [/ math] a [math] n [/ math], y dos bolsas-bolsa [math] 1 [/ math] y bag [math] 2 [/ matemáticas]. Considere la tarea de transferir las canicas a la bolsa [matemática] 2 [/ matemática] usando la bolsa [matemática] 1 [/ matemática] como una bolsa intermidada. Bueno, una forma de hacer esto es seleccionar un subconjunto de canicas de tamaño [math] k [/ math] para la bolsa [math] 1 [/ math], donde [math] 0 \ leq k \ leq n [/ math ], y luego decidir si incluir cada una de las canicas [math] k [/ math] en la bolsa [math] 2 [/ math] o no. Podemos seleccionar un subconjunto de canicas de tamaño [math] k [/ math] en [math] \ dbinom {n} {k} [/ math], y para cada canica hay [math] 2 [/ math] maneras: o podemos incluir la canica en la bolsa [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o no. Por lo tanto, hay [math] \ dbinom {n} {k} 2 ^ k [/ math] formas para un subconjunto de tamaño [math] k [/ math]. Sumando sobre [matemática] k [/ matemática], el número total de formas es [matemática] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} 2 ^ k [/ matemática]. Alternativamente, para cada canica hay tres posibilidades: incluir la canica en la bolsa [matemática] 1 [/ matemática] y luego en la bolsa [matemática] 2 [/ matemática], incluir la canica en la bolsa [matemática] 1 [/ matemática ] pero no en la bolsa [matemáticas] 2 [/ matemáticas], sin incluir la canica en la bolsa [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces hay [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas] posibilidades. Dado que ambos métodos cuentan lo mismo, deben ser iguales. En otras palabras, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} 2 ^ k = 3 ^ n [/ matemáticas].

Siéntase libre de sugerir cualquier corrección / edición.

Answer 2

Claramente, [matemáticas] \ dbinom {n} {0} + (2x) \ dbinom {n} {1} + (2x) ^ {2} \ dbinom {n} {2} + .. + (2x) ^ { n} \ dbinom {n} {n} = (1 + 2x) ^ {n} [/ matemáticas]

Use x = 1 en la ecuación anterior.
Obtenemos [matemáticas] \ sum \ dbinom {n} {i} (2) ^ {i} = 3 ^ {n} [/ matemáticas].

Answer 3

¡¡Es sencillo!!

Simplemente aplique el teorema binomial:

(1 + x) ^ n =

nC0 + (nC1) (x) + (nC2) (x ^ 2) +…. + (nCn) (x ^ n)

Simplemente sustituya el valor de x como 2

Obtendrás el resultado deseado …