Is [matemáticas] \ limsup \ frac {1} {n ^ 2} + (-1) ^ {n + 1} \ frac {3 ^ n + 2 ^ n} {2 \ cdot 4 ^ n +1} = \ frac {14} {9} [/ math]?

Answer 1

No.

Si [math] \ lim [/ math] existe en [math] \ infty [/ math], entonces estamos seguros de que [math] \ limsup [/ math] también funciona y es igual a él.

Pero [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (-1) ^ {n + 1} \ frac {3 ^ n + 2 ^ n} {2 \ cdot 4 ^ n + 1} = 0 [/ math] también. (Para ver el segundo, divida el numerador y el denominador entre [matemática] 4 ^ n [/ matemática]).

Por otro lado, si estaba preguntando si ese es [math] \ sup [/ math], entonces sí (suponiendo que estemos tomando el supremum sobre [math] \ mathbb {N} [/ math] ) Esto se debe a que de hecho es el máximo. Para [math] n \ ge 2 [/ math] tenemos que [math] \ left | \ frac {1} {n ^ 2} + (-1) ^ {n + 1} \ frac {3 ^ n + 2 ^ n} {2 \ cdot 4 ^ n + 1} \ right | <\ frac {1} {4} + \ frac {\ left (\ frac {3} {4} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2} {2} = \ frac {21} {32} [/ matemáticas].