Veamos el caso general, para [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math]
[matemáticas] I_k = \ int_0 ^ x \ sin ^ {2k + 1} t \ mathrm {d} t [/ math]
La familia completa de primitivas (anti-derivados) se da agregando una constante arbitraria a [math] I_k [/ math]. El siguiente enfoque nos ahorra un esfuerzo considerable en términos de (1) expresar [math] \ sin ^ nx [/ math] como una combinación lineal de sinusoides de ángulo múltiple, (2) Usar fórmulas de recursión (utilizadas tradicionalmente) para evaluar las integrales el tipo anterior o (3) realizando la integración por partes gran cantidad de veces. Comenzamos reemplazando el límite inferior de la integral con [math] \ pi / 2 [/ math], que no es una pérdida de generalidad ya que el conjunto completo de primitivas se genera al agregar una constante arbitraria de integración. Simplemente nos ahorra poco esfuerzo en el camino. Modificando ligeramente el integrando y notando que
[matemáticas] I_k = \ left. \ int _ {\ pi / 2} ^ {x} \ sin ^ {2k + 1} te ^ {a \ cos t} \ mathrm {d} t \ right \ vert_ {a = 0 } = – \ left. \ int _ {\ pi / 2} ^ {x} \ sin ^ {2k} te ^ {a \ cos t} (- \ sin t) \ mathrm {d} t \ right \ vert_ {a = 0} [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio tenga su coeficiente principal ya que es cero?
- ¿Debería doblar y tomar geometría de honores y álgebra de honores 2?
- ¿Cuál es la solución a esta ecuación?
- Si [matemática] a <b [/ matemática] (ambos enteros positivos), es el número de cuadrados entre [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 [/ matemática] exactamente [matemática] ba [ /matemáticas]?
- Si x ^ 3 – 1 / x ^ 3 = 27, entonces x – 1 / x =?
[matemáticas] = ^ {\ cos t = u} – \ left. \ int_0 ^ {\ cos x} (1-u ^ 2) ^ {k} e ^ {au} \ mathrm {d} u \ right \ vert_ {a = 0} = \ sum_ {j = 0} ^ k {{k} \ elegir {j}} (- 1) ^ {j + 1} \ left. \ int_0 ^ {\ cos x} u ^ {2j } e ^ {au} \ mathrm {d} u \ right \ vert_ {a = 0} [/ math]
que resulta de expandir el binomio [matemáticas] (1-u ^ 2) ^ k [/ matemáticas] y pasar la integral a través de la suma. Tenga en cuenta que [math] u ^ ne ^ {au} = \ frac {\ partial ^ n} {\ partial a ^ n} e ^ {au} [/ math]. Usando este resultado podemos escribir
[matemáticas] I_k = \ sum_ {j = 0} ^ k {{k} \ elegir {j}} (- 1) ^ {j + 1} \ left. \ int_0 ^ {\ cos x} \ frac {\ partial ^ {2j}} {\ parcial a ^ {2j}} e ^ {au} \ mathrm {d} u \ right \ vert_ {a = 0} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {j = 0} ^ k {{k} \ elegir {j}} (- 1) ^ {j + 1} \ left. \ frac {\ mathrm {d} ^ {2j}} { \ mathrm {d} a ^ {2j}} \ int_0 ^ {\ cos x} e ^ {au} \ mathrm {d} u \ right \ vert_ {a = 0} [/ math]
la derivada parcial podría extraerse de la integral como derivada total debido a la regla integral de Leibniz y la integral resultante se evalúa trivialmente. Por lo tanto, obtenemos
[matemáticas] I_k = \ sum_ {j = 0} ^ k {{k} \ elegir {j}} (- 1) ^ {j + 1} \ left. \ frac {\ mathrm {d} ^ {2j}} {\ mathrm {d} a ^ {2j}} \ frac {e ^ {a \ cos x} -1} {a} \ right \ vert_ {a = 0} [/ math]
Sí, si tuviera que calcular la derivada [math] {2j} ^ {\ mathrm {th}} [/ math] a mano, no sería genial. Hay una forma más inteligente de obtener estos derivados. Observe que estamos interesados en las derivadas en [math] a = 0 [/ math]. Seguramente, la serie Taylor, que clasifica todas las derivadas de una función en un punto, es la salida. Por lo tanto, tratar [math] \ cos x [/ math] como parámetro y expandir [math] a ^ {- 1} \ left (e ^ {a \ cos x} -1 \ right) [/ math] acerca de [math ] a = 0 [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] \ frac {e ^ {a \ cos x} -1} {a} = \ frac {1} {a} \ left (1+ \ cos x a + \ frac {\ cos ^ 2x} {2!} a ^ 2 + \ frac {\ cos ^ 3x} {3!} a ^ 3 + \ dotsi-1 \ right) = \ cos x + \ frac {\ cos ^ 2x} {2!} a + \ frac {\ cos ^ 3x} {3!} A ^ 2 + \ dotsi [/ math]
El coeficiente de [matemáticas] a ^ n [/ matemáticas] es [matemáticas] \ cos ^ {n + 1} x / (n + 1)! [/ Matemáticas]. Recuerde que el coeficiente de [matemática] x ^ n [/ matemática] en la expansión de Taylor de una función [matemática] f (x) [/ matemática] sobre el origen es [matemática] \ izquierda. \ Frac {1} {n !} f ^ {(n)} (x) \ right \ vert_ {x = 0} [/ math]. Esto nos da
[matemática] \ left. \ frac {\ mathrm {d} ^ {2j}} {\ mathrm {d} a ^ {2j}} \ frac {e ^ {a \ cos x} -1} {a} \ right \ vert_ {a = 0} = \ frac {\ cos ^ {2j + 1} x} {(2j + 1)} [/ math]
Finalmente, al conectar esto a la expresión para [math] I_k [/ math] desde el punto donde dejamos, da
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ sin ^ {2k + 1} x \ mathrm {d} x = \ sum_ {j = 0} ^ k (-1) ^ {j + 1} {{k} \ elegir {j }} \ frac {\ cos ^ {2j + 1} x} {(2j + 1)} + C [/ matemáticas]
Particularmente, para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas], obtenemos la integral deseada
[matemática] \ int \ sin ^ 3x \ matemática {d} x = – \ cos x + \ frac {1} {3} \ cos ^ 3x + C [/ matemática]
que está de acuerdo con otras respuestas publicadas aquí.
Observación : Dado que [matemática] \ sen x [/ matemática] es una función periódica impar, [matemática] \ sen ^ {2k + 1} x [/ matemática] también es periódica impar, mientras que la integral de una función impar es par ( en este caso correspondiente a [matemática] C = 0 [/ matemática]). La integral también es periódica. Lo que hemos obtenido (sin saberlo) aquí es la serie de Fourier para la integral de [math] \ sin ^ {2k + 1} x [/ math] que está completamente dada por la suma de armónicos pares. Curiosamente, en este caso la serie es finita, lo cual es una ramificación de la fórmula de Euler para el seno.
Salud !
