¿Cuál es la probabilidad de que un polinomio tenga su coeficiente principal ya que es cero?

Answer 1

Cero, para las definiciones más razonables de “polinomio aleatorio”.

Al igual que no hay una forma establecida de elegir un número entero aleatorio (o un número real aleatorio) sin hacer suposiciones adicionales, su pregunta necesita más información para estar bien formada.

¿Está considerando solo polinomios con coeficientes enteros? O coeficientes reales? ¿Cuál es la distribución de esos coeficientes? ¿Solo polinomios hasta un número dado de términos? ¿Cuál es la distribución del número de términos?

Dado un polinomio [math] a_nx ^ n +… + a_1x + a_0 [/ math], [math] a_n [/ math] es una raíz si

[matemáticas] a_n ^ {n + 1} + a_ {n-1} a_n ^ {n-1} +… a_1a_n + a_0 [/ matemáticas] es cero.

Para [matemática] n = 1 [/ matemática] esto significa [matemática] a_0 = – a_1 ^ 2 [/ matemática]. Es decir, solo el subconjunto [math] (x, -x ^ 2) [/ math] funciona a partir de lo que sea nuestra distribución [math] (X, X) [/ math] (donde X es una variable aleatoria). una distribución real este es un conjunto de medida cero.

Para [matemática] n = 2 [/ matemática] esto significa [matemática] a_2 ^ 3 + a_1a_2 = -a_0 [/ matemática]. Esta es una ecuación lineal en [matemáticas] a_0, a_1 [/ matemáticas]: dos incógnitas y una ecuación. Pero aunque tenemos un número infinito de soluciones para [math] a_0, a_1 [/ math], el subconjunto de [math] (X, X, X) [/ math] que definen todavía tiene la medida cero. Una vez que seleccionamos [math] a_2 [/ math] y [math] a_1 [/ math], tenemos exactamente una opción correcta para [math] a_0 [/ math] y un número ilimitado de incorrectos.

Para obtener una respuesta distinta de cero, probablemente necesite restringir los coeficientes a alguna distribución entera (o un conjunto discreto de números reales), por ejemplo, “enteros distribuidos uniformemente entre -100 y 100”. En ese caso, para los términos [matemática] n [/ matemática] hay [matemática] 200 \ cdot 201 ^ n [/ matemática] posibles polinomios, suponiendo que el cero inicial no esté permitido.

En el caso [math] n = 1 [/ math] que da una probabilidad de [math] 20/40200 = 1/2010 [/ math], porque hay exactamente 20 pares que satisfacen la ecuación: [math] (\ pm 1 , -1), (\ pm 2, -4),…, (\ pm 10, -100) [/ matemáticas]