Si x ^ 3 – 1 / x ^ 3 = 27, entonces x – 1 / x =?

Answer 1

Gracias por A2A (solo haz que suene increíble)
Use la propiedad [matemáticas] a ^ nb ^ n = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ cdots + ab ^ {n-2} + b ^ {n-1} )[/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3- \ frac1 {x ^ 3} = \ left (x- \ frac 1x \ right) \ left (x ^ 2 + 1 + \ frac 1 {x ^ 2} \ right) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ left (x- \ frac 1x \ right) \ left [\ left (x- \ frac 1x \ right) ^ 2 + 3 \ right] [/ math]
Deje [math] x- \ frac 1x = y [/ math], luego
[matemáticas] \ displaystyle 27 = y (y ^ 2 + 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle y ^ 3 + 3y-27 = 0 [/ matemáticas]
Resuelva la ecuación [matemáticas] t ^ 2-27t- \ frac {3 ^ 3} {27} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle t_ {1,2} = \ frac {27 \ pm \ sqrt {733}} 2 [/ matemáticas]
Entonces la solución final es
[matemáticas] \ displaystyle y = \ sqrt [3] {t_1} + \ sqrt [3] {t_2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ sqrt [3] {\ frac {27+ \ sqrt {733}} 2} + \ sqrt [3] {\ frac {27- \ sqrt {733}} 2} [/ matemáticas]

Answer 2

Observe que [matemáticas] x ^ 3- \ frac {1} {x ^ 3} = (x- \ frac {1} {x}) ^ 3 + 3 (x- \ frac {1} {x}) \ text {Entonces let} (x- \ frac {1} {x}) = y
\ implica y ^ 3 + 3y = 27 \\ [/ math] Ahora, dado que esta función está aumentando monotónicamente, solo hay una raíz real, dada por su solucionador favorito, como [math] y = 2.6682 [/ math]

Answer 3

Otras respuestas son un poco más limpias, pero requieren que haga algunas técnicas no estándar. El enfoque menos elegante también funciona.

Como [math] x \ ne 0 [/ math], podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el cubo de x dando una ecuación cuadrática en la variable [math] x ^ 3 [/ math].
[matemáticas] (x ^ 3) ^ 2-27x ^ 3-1 = 0 \ \ implica \ x ^ 3 = \ frac {27 \ pm \ sqrt {27 ^ 2 + 4}} 2 [/ matemáticas]

Entonces
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {\ frac {27 \ pm \ sqrt {27 ^ 2 + 4}} 2} [/ matemáticas]

Y
[matemáticas] \ frac 1x = \ sqrt [3] {\ frac 2 {27 \ pm \ sqrt {27 ^ 2 + 4}}} [/ matemáticas]

Agregar estos números te da las dos soluciones:
[matemáticas] x_1 = \ sqrt [3] {\ frac {27 {+} \ sqrt {27 ^ 2 + 4}} 2} + \ sqrt [3] {\ frac 2 {27 {+} \ sqrt {27 ^ 2 + 4}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = \ sqrt [3] {\ frac {27 {-} \ sqrt {27 ^ 2 + 4}} 2} + \ sqrt [3] {\ frac 2 {27 {-} \ sqrt {27 ^ 2 + 4}}} [/ matemáticas]

No he verificado si estas soluciones son distintas.

Answer 4

Reemplace x ^ 3 con y, luego resuelva para y tomando la primera ecuación y convirtiéndola en una ecuación cuadrática. Obtienes dos raíces, luego toma la raíz cúbica de cada una de ellas. Obtiene una solución ligeramente inferior a 0 y una solución ligeramente superior a 3.