Torre de exponente infinito: ¿cómo puede enchufar la raíz cuadrada de 2 el resultado final de 2 y el resultado final de 4?

Answer 1

La ecuación se resuelve en x ^ y = y en la forma primitiva,

Incluso en la forma ln (y) = y. En (x), no excluye ninguna buena razón por la cual se deba tomar cualquiera de las soluciones.

Y, de hecho, que un número escrito como x² = 2, no excluye múltiples valores de x.

Si suponemos que a ^ b = b ^ a, entonces podríamos notar que a ln (b) = b ln (a), es decir, ln (b) = b ln (a ^ (1 / a)), necesariamente significaría que cada torre tiene dos raíces, donde

x = a ^ (1 / a), y = b da a ^ b = b ^ a.

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Los valores inferiores a 2.71828182846 convergen, mientras que los anteriores divergen.

Si carga la pila RPN con 1.41421356238, y comienza con 2,5, finalmente obtiene 2. Si comienza con 4, se aleja lentamente a números más grandes hasta + infty.

Por otro lado, a = ln (a) / ln (x) converge en 4, si x = sqrt {2}.

Eso no niega que esta sea una solución válida. Sin embargo, es inestable.

Answer 2

En primer lugar, necesitamos una definición de lo que estamos calculando.

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Definir [matemáticas] t_1 (x) = x [/ matemáticas]

[matemáticas] t_ {k + 1} (x) = x ^ {t_k (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] t (x) = lim_ {k \ to \ infty} t_k (x) [/ matemáticas] si el límite existe

Razonando hacia atrás encontramos que si y = t (x) entonces [matemáticas] y = x ^ y [/ matemáticas] y así [matemáticas] x = y ^ {1 / y} [/ matemáticas]

Si dibujamos la curva [matemática] x = y ^ {1 / y} [/ matemática] entonces podemos ver fácilmente que t (x) existe para [matemática] 0 \ lt x \ le e ^ {1 / e} [ /matemáticas]

Numéricamente, el extremo superior de este intervalo es aproximadamente [matemática] e ^ {e ^ {- 1}} = 1.4446678610097661336583391085964 [/ matemática]

mientras

[matemáticas] \ sqrt {2} = 1.4142135623730950488016887242097 [/ matemáticas]

Sucede que [matemática] 4 ^ {1/4} = 2 ^ {1/2} [/ matemática] pero la gráfica de la curva [matemática] x = y ^ {1 / y} [/ matemática] muestra claramente que cuando hay dos posibilidades, la más pequeña es la correcta. En cualquier caso, podemos hacer algunos valores numéricos de [math] t_k (\ sqrt {2}) [/ math] y los valores comienzan claramente cerca de 1.414 y permanecen por debajo de 2.

Answer 3

sqrt (2)

si X ^ X ^ X ^ X ^ X …… ^ inf = k puede tomarse como X ^ k = k

por lo tanto X = k ^ (1 / k)

ahora esto se convierte en una pregunta de cálculo como y = x ^ (1 / x)

para eso podemos calcular los máximos.

los valores de y primero aumentan de 0 a e ^ (1 / e) y luego disminuyen

por lo tanto, no puede ser 4.

Answer 4

Aquí hay una publicación del “Doctor Tom” (ver la publicación con fecha 15/06/2007) que aborda esta anomalía:

Foro de Matemáticas – Pregúntele al Dr. Math

Él afirma:

el método RESOLVERÁ para cualquier valor de la constante hasta e = 2.718281828459045 … Cualquier cosa más grande no tendrá una raíz

Entonces, resolver esto por un valor de 4 no es válido.

Ahora, ¿por qué solo es válido hasta e? El no dice.

Answer 5

Si comienzas con x ^ x ^ x ^… = 4, estás haciendo la declaración de que algún valor conectado a la torre del exponente dará un resultado de 4. Esta es una declaración falsa: no hay ningún valor que puedas conectar al torre de exponente para obtener un resultado de 4. De una afirmación falsa, cualquier afirmación sigue, incluyendo 2 = 4 y 0 = 1 … cualquier afirmación.