Cómo demostrar por inducción que [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k + 1} {n \ elegir k} \ frac {1} {k} = 1 + \ frac {1} {2} +… + \ frac {1} {n}, \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]

Answer 1

Para [matemáticas] n = m + 1, \; LHS = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {m + 1} (- 1) ^ {k + 1} \ binom {m + 1} k \ frac 1k [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ frac {(m + 1)!} {(m + 1-k)! k!} \ frac 1k + (- 1) ^ {m + 2} \ frac 1 {m + 1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ frac {m + 1} {m + 1-k} \ frac {m!} {(mk)! k!} \ frac 1k + (- 1) ^ {m + 2} \ frac 1 {m + 1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ binom mk \ left (1+ \ frac {k} {m + 1-k} \ right) \ frac 1k + (- 1) ^ {m + 2} \ frac 1 {m + 1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ binom mk \ frac 1k + \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1 } \ binom mk \ frac 1 {m + 1-k} + (- 1) ^ {m + 2} \ frac 1 {m + 1} [/ matemática]

Tenga en cuenta que el primer elemento es lo que tenemos en el supuesto, para el segundo elemento, sea [math] j = m + 1-k [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ text {Segundo elemento} = \ sum_ {j = 1} ^ m (-1) ^ {m + 2-j} \ binom m {m + 1-j} \ frac 1j [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = (- 1) ^ {m + 1} \ sum_ {j = 1} ^ m (-1) ^ {j + 1} \ binom m {j-1} \ frac 1j [/ matemática]

[matemáticas] \ displaystyle = (- 1) ^ {m + 1} \ sum_ {j = 1} ^ m (-1) ^ {j + 1} \ frac {m!} {j (j-1)! ( m + 1-j)!} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = {(- 1) ^ {m + 1} \ over m + 1} \ cdot – \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ m (-1) ^ j \ binom {m + 1} j [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ overset {\ text {Teorema binomial}} = {(- 1) ^ {m + 1} \ over m + 1} \ cdot – \ left [(1-1) ^ {m + 1} -1 – (- 1) ^ {m + 1} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = {(- 1) ^ {m + 1} \ sobre m + 1} \ left [1 + (- 1) ^ {m + 1} \ right] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = {(- 1) ^ {m + 1} \ sobre m + 1} + \ frac 1 {m + 1} [/ matemáticas]

Suma los tres elementos,

[matemáticas] LHS = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ binom mk \ frac 1k + [/ math] [matemáticas] (- 1) ^ {m + 1} \ displaystyle \ frac 1 {m + 1} + \ frac 1 {m + 1} – (- 1) ^ {m + 1} \ frac 1 {m + 1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ m (-1) ^ {k + 1} \ binom mk \ frac 1k + \ frac 1 {m + 1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ overset {\ text {Suposición}} = \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac 1k + \ frac 1 {m + 1} = \ sum_ {k = 1} ^ {m + 1} \ frac 1k \ quad \ blacksquare [/ math]

QED

Answer 2

La pregunta podría ser pedir una prueba de inducción.

¡Déjame resolverlo de una nueva manera!

If [math] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n a_ {i} = \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ n b_ {j}. [/ Math]

Entonces podemos decir [matemáticas] a_ {i} = b_ {j} .if [/ matemáticas] [matemáticas] i = j [/ matemáticas]

Más precisamente sabemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n a_ {i} + a_ {n + 1} = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} a_ {i}. [/ math]

Y [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ n b_ {j} + b_ {n + 1} = \ displaystyle \ sum_ {j = 1} ^ {n + 1} b_ {j}. [/ Math ]

Por lo tanto, [matemáticas] b_ {n + 1} = a_ {n + 1}. [/ math] Eso sigue con [math] b_ {j} [/ math] y [math] a_ {i}. [/ math]

Entonces podemos decir

[matemáticas] 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} +… + \ frac {1} {n} = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ n 1 / a = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ n \ frac {1} {{a \ choose {a-1}}}. [/ Math]

Por lo tanto, para probar la declaración dada

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (-1) ^ {k + 1} {n \ elegir k} \ frac {1} {k} = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ n 1 / a. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (-1) ^ {k + 1} {n \ elegir k} \ frac {1} {k} = \ displaystyle \ sum_ {a = 1} ^ n \ frac {1} {{a \ choose {a-1}}}. [/ math]

Entonces podemos decir [matemáticas] \ frac {1} {{k \ elegir {k-1}}} = (- 1) ^ {k + 1} {n \ elegir k} \ frac {1} {k} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ implica (-1) ^ {k + 1} × \ frac {n!} {(nk)! (k!)} × \ frac {1} {k} × \ frac {k!} {( k-1)!} = (- 1) ^ {k + 1} \ frac {n!} {k! × (nk)!} = {n \ elegir k} (- 1) ^ {k + 1} = 1. [/ Matemáticas]

Entonces podemos multiplicar [matemática] 1 / k [/ matemática] por [matemática] k = \ {1,2,3,4… n \}. [/ Matemática]

Entonces [matemáticas] {n \ elegir k} (- 1) ^ {k + 1} × (1 / k) = 1 / k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ forall k \ in \ mathbb {N}. [/ matemáticas]

Entonces agregando con diferentes valores obtendremos la suma de la expresión deseada.