Cómo integrar [math] \ tan ^ 5 (x) \ sec (x) [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ int \ tan ^ 5 (x) segundos (x) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int (tan ^ 2 (x)) ^ 2 tan (x) seg (x) \, dx [/ matemáticas]

[math] = \ int (sec ^ 2 (x) -1) ^ 2 tan (x) sec (x) \, dx [/ math]

Deje [math] sec (x) = t [/ math]

Ahora tomando derivada de ambos lados,

[matemática] seg (x) [/ matemática] [matemática] tan (x) [/ matemática] [matemática] dx = dt [/ matemática]

Entonces, nuestra integral se simplifica a …

[matemáticas] = \ int (t ^ 2-1) ^ 2 \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int (t ^ 4 +1 -2t ^ 2) \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {t ^ 5} {5} + t – 2 \ frac {t ^ 3} {3} + C [/ matemáticas]

Ahora conectando [math] t = sec (x) [/ math]

[matemática] = \ frac {sec ^ 5 (x)} {5} + sec (x) – 2 \ frac {sec ^ 3 (x)} {3} + C [/ math]

Y ya está!

Answer 2

Usando la identidad trigonométrica

[matemáticas] \ displaystyle \ tan ^ 2 (x) = \ sec ^ 2 (x) -1 [/ matemáticas]

la integral se puede reescribir como

[matemática] \ displaystyle \ int \ tan (x) \ sec (x) (\ sec ^ 2 (x) -1) ^ 2dx. [/ math]

Use la sustitución [math] s = \ sec (x) [/ math] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ int (s ^ 2-1) ^ 2ds. [/ matemáticas]

Expandir los soportes y la integral nos da

[matemáticas] \ displaystyle \ int s ^ 4ds-2 \ int s ^ 2ds + \ int ds [/ math]

[math] = \ displaystyle \ frac {s ^ 5} {5} – \ frac {2s ^ 3} {3} + s + C [/ math]

para una constante [matemática] C. [/ matemática] Sustituir de nuevo [matemática] s = \ sec (x) [/ matemática] nos da la solución

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sec ^ 5 (x)} {5} – \ frac {2 \ sec ^ 3 (x)} {3} + \ sec (x) + C. [/ matemáticas]

Answer 3

Tan⁴x.Tanx.Secx
= (Tan²x) ².Tanx.Secx
= (Sec²x-1) ².Tanx.Secx
Ahora integre tomando ‘Secx = t’