¿Cómo se prueba [matemáticas] (f \ circ f ^ {- 1}) (x) = x [/ matemáticas]?

Answer 1

Deje f: B-> C. Esto se pronuncia ‘f asigna el conjunto B al conjunto C’. El conjunto B se llama dominio y el conjunto C se llama codominio. Por definición de una función, una función es un conjunto de pares ordenados que deben usar cada valor de B exactamente una vez, y cuyo segundo valor es de C.

Tomemos un ejemplo simple. Deje B = {a, b, c} y C = {1, 2, 3, 4}

Entonces una función de B a C sería:

f = {(a, 3), (b, 4), (c, 3)}

Tenga en cuenta que los elementos en C se pueden usar más de una vez, o no usarlos.

Pero supongamos que tenemos un tipo especial de función llamada biyección, o correspondencia uno a uno. Esto significa que dos valores diferentes en el dominio se asignan a dos valores diferentes en el codominio, y que para cualquier valor en C hay algún valor en B que se asigna a él. En otras palabras, C se “agota”.

Aquí hay un ejemplo: Sea B = {a, b, c} y C = {1, 2, 3}, casi como antes, excepto que C no contiene 4. Ahora considere esta función de B a C:

f = {(a, 3), (b, 1), (c, 2)}. Tenga en cuenta que esta es una biyección de B a C.

Ahora lo bueno es que cuando f es una biyección, puedes invertir los pares ordenados y aún así obtenemos una función, llamada inversa de f, que asigna C a B. Escribimos esto:

[matemáticas] {f} ^ {- 1}: C \ rightarrow B [/ matemáticas]. Y el inverso de una función solo contiene los pares ordenados de la función “invertida”.

[matemáticas] {f} ^ {- 1} = {(3, a), (1, b), (c, 2)} [/ matemáticas]

Puede ver [math] f y {f} ^ {- 1} [/ math] en la foto a continuación.

Ahora debería quedar claro que si tomamos, por ejemplo, f (b) = 1, obtendríamos [matemáticas] {f} ^ {- 1} (1) = b [/ matemáticas]. entonces la función inversa ‘deshace lo que hace la función’.

Por lo tanto, [matemáticas] f ({f} ^ {- 1} (2)) = 2 [/ matemáticas]. Entonces en general:

[matemáticas] f ({f} ^ {- 1} (x)) = x [/ matemáticas]

La notación que usaste significa lo mismo:

[matemáticas] (f \ odot {f} ^ {- 1}) (x) = x [/ matemáticas]

Answer 2

Inv (f) es una función st fo Inv (f) = I la función de identidad.

Entonces, por, m definición de Inv (f), tenemos I (x) = x

es decir, x = x, que siempre es cierto.

Answer 3

Esa es la mitad de la definición de una definición inversa. [math] f ^ {- 1} [/ math] es la función tal que [math] f \ circ f ^ {- 1} [/ math] es la función de identidad y [math] f ^ {- 1} \ circ f [/ math] es la función de identidad. Por lo tanto, [math] (f \ circ f ^ {- 1}) (x) = x [/ math] es uno de los dos requisitos para [math] f ^ {- 1} [/ math].

Answer 4

Como señaló David, no hay necesidad de probar esto, ya que es un componente de su definición. Intuitivamente (omitiendo dominio, rango y “sobre”), recuerde que estamos viendo una relación de “deshacer”.

Reducir a la mitad deshace la duplicación.

Sumar 7 deshace la resta 7.

El enraizamiento de cubos deshace los cubos.

Nuevamente, no estoy sugiriendo una prueba, ya que es innecesaria, sino simplemente sugiriendo por qué debería ser clara.

No deberíamos necesitar una calculadora para saber a qué equivale la raíz cúbica del cubo 8675309.

Answer 5

Si se supone que f es una función de 1-1, entonces que x esté en el codominio. f ^ -1 (x) es el único elemento y en el dominio tal que f (y) = x. Si f no está en, entonces hay az en el codominio que no tiene elemento w en el dominio de manera que f (w) = z. por lo tanto (f 0 f ^ -1) no está definido.