Cómo completar el cuadrado y resolver para x: [matemáticas] x ^ 2 + x-1 = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] (x ^ 2 + x-1) [/ matemáticas]

Solo intentemos;

[matemáticas] x ^ 2 + x-1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x = 1 [/ matemáticas]

Esto puede sonar imposible porque [matemáticas] x [/ matemáticas] no ocurre cuando se multiplican los enteros. Entonces, tomemos fracciones.

Sabemos:

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ba + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Si cuadramos [matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) [/ matemáticas], obtenemos,

[matemáticas] x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

¡Si! Entonces, nuestro próximo paso será agregar lo que está en esto ([matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]), pero falta en eso ([matemáticas] x ^ 2 + x [ / math]), es decir, [math] \ frac {1} {4} [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = + – \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = + – \ frac {\ sqrt {5}} {2} – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {- (\ sqrt {5} +1)} {2}, \ frac {\ sqrt {5} -1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1.61803398875, 0.61803398875 [/ matemáticas]

Gracias por la A2A

Answer 2

1. Mueve la constante hacia la derecha

[matemáticas] x ^ 2 + x = 1 [/ matemáticas]

Hasta ahora estoy de acuerdo con Tim Farage

2. Completa el cuadrado.

Esto significa encontrar un número [matemático] a [/ matemático] que hace que el LHS sea un cuadrado completo:

[matemáticas] (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 [/ matemáticas]

Comparando esto con el original, encontramos que

[matemáticas] 2a = 1 [/ matemáticas] y así [matemáticas] a = 1/2 [/ matemáticas]

3. Agregue la cantidad [matemática] a ^ 2 = 1/4 [/ matemática] a ambos lados

[matemáticas] x ^ 2 + x + 1/4 = 5/4 [/ matemáticas]

4. Reunir cuadrado:

[matemáticas] (x + 1/2) ^ 2 = 5/4 [/ matemáticas]

5. Si el RHS es positivo, tome raíces cuadradas. En este punto, dividimos en 2 soluciones

Solución 1: [matemáticas] x + 1/2 = \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-1+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Solución 2: [matemáticas] x + 1/2 = – \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-1- \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

Comenzamos con la ecuación

[matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0. [/ matemáticas]

Podemos usar eso [matemáticas] (x + 1/2) ^ 2 = x ^ 2 + x + 1/4 [/ matemáticas]. Reescribe la ecuación

[matemáticas] x ^ 2 + x + 1/4 – 1/4 – 1 = (x + 1/2) ^ 2 – 5/4 = 0 [/ matemáticas]

Ahora mueve [matemática] 5/4 [/ matemática] al RHS,

[matemáticas] (x + 1/2) ^ 2 = 5/4 [/ matemáticas].

Tome la raíz cuadrada de cada lado y recuerde que tenemos una solución para la raíz cuadrada negativa y positiva.

[matemáticas] (x + 1/2) = ± \ sqrt {5/4} = ± \ sqrt {5} / 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1/2 ± \ sqrt {5} / 2 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] x_1 = \ frac {\ sqrt {5} -1} {2}, [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = – \ frac {\ sqrt {5} +1} {2} [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = ± \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {2} ± \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 5

Así es como aprendí en la escuela secundaria a resolver cualquier ecuación de la forma [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Vamos a calcular [matemáticas] ∆ [/ matemáticas], que se llama Discriminante

[matemática] ∆ [/ matemática] = [matemática] b ^ 2-4ac [/ matemática] con [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] ([matemática] x ^ 2 + x-1 [ /matemáticas])
[matemáticas] ∆ = 1 ^ 2- 4. (1). (- 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] ∆ = 5 [/ matemáticas]

Si [matemática] ∆> 0 [/ matemática] entonces tenemos dos soluciones reales [matemática] x1 = \ frac {-b + √∆} {2a} [/ matemática] y [matemática] x2 = \ frac {-b- √∆} {2a} [/ matemáticas]

Si [math] ∆ = 0 [/ math] tenemos una solución real [math] \ frac {-b} {2a} [/ math]

[matemática] Si ∆ <0 [/ matemática] entonces tenemos dos soluciones imaginarias (números complejos).
[matemática] X1 = [/ matemática] [matemática] \ frac {-b + i√∆} {2a} [/ matemática] [matemática] [/ matemática] y [matemática] [/ matemática] [matemática] X2 = \ frac {-bi√∆} {2a} [/ math] con la raíz cuadrada del valor positivo de ∆

Aquí ∆> 0 nuestras soluciones son

[matemáticas] X1 = \ frac {-1 + √5} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] X2 = \ frac {-1-√5} {2} [/ matemáticas]

Esta fórmula funciona para todas las ecuaciones de grado [matemáticas] 2 [/ matemáticas] de la forma [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Gracias.

Answer 6

Primero, agregue 1 a ambos lados para obtener la constante en el RHS:

[matemáticas] x ^ 2 + x = 1 [/ matemáticas].

Luego toma la mitad del coeficiente del término x (que es 1) y cuadrántalo:

[matemáticas] (\ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {1} {4} [/ matemáticas].

Agregue esto a ambos lados de la primera ecuación:

[matemática] x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} = 1 + \ frac {1} {4} [/ matemática].

Ahora el LHS es un cuadrado perfecto:

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = 1 + \ frac {1} {4} [/ matemáticas].

El RHS se simplifica a 5/4, por lo que obtenemos:

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemáticas].

Ahora toma la raíz cuadrada de ambos lados para obtener:

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas].

Finalmente agregue [math] – \ frac {1} {2} [/ math] a ambos lados:

[matemáticas] x = – \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas].

Y eso debería hacerlo.

Answer 7

OK, aquí está la respuesta corta.

Esa ecuación se llamó ecuación cuadrática. Para resolver esto, solo necesita esta fórmula.

[matemáticas] x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Nada más y nada menos. Solo esa fórmula. En este caso, [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = 1 [/ matemática] y [matemática] c = -1 [/ matemática]. Entonces, la solución de [matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0 [/ matemáticas] es

[matemáticas] x_ {1,2} = – \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 8

[matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 2 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot x – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 2 \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot x + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 – \ frac {5} {4} = 0 [ /matemáticas]

[matemática] \ izquierda (x + \ frac {1} {2} \ derecha) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemática]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 9

Completar el cuadrado básicamente significa cambiar una ecuación en la forma:

[matemática] x ^ 2 + hacha + \ izquierda (\ dfrac {a} {2} \ derecha) ^ 2 = 0 [/ matemática]

a:

[matemática] \ left (x + \ dfrac {a} {2} \ right) ^ 2 = 0 [/ math]

Dicho esto, podemos hacer que [matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0 [/ matemáticas], en:

[matemáticas] \ izquierda (x ^ 2 + x + \ dfrac {1} {4} \ derecha) – \ dfrac {5} {4} = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ left (x + \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2 = \ dfrac {5} {4} [/ math]

[matemáticas] \ left (x + \ dfrac {1} {2} \ right) = \ pm \ sqrt {\ dfrac {5} {4}} [/ math]

[matemáticas] x = – \ dfrac {1} {2} \ pm \ dfrac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Una versión simplificada:

[matemáticas] \ boxed {x = \ dfrac {1 + \ sqrt {5}} {2}, \ dfrac {1 – \ sqrt {5}} {2}} [/ math]

Answer 10

[matemáticas] x ^ 2 + x – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] (x ^ 2 + x + \ frac {1} {4}) – \ frac {5} {4} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 11

Para completar los cuadrados puedes usar dos métodos.

El primero y más simple es usar una fórmula cuadrática.

Ecuación cuadrática

[matemáticas] [matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 -4ac}} {2a} [/ matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 1, b = 1, c = -1

sustituyendo los valores anteriores en la ecuación cuadrática nos dará la respuesta

[matemáticas] \ frac {-1 \ pm \ sqrt {-1 ^ 2 – 4 (1) (- 1)}} {2 (1)} [/ matemáticas]

que es equivalente a

[matemáticas] \ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Evaluando la ecuación

[matemáticas] x = 0.618033988 yx = -1.618033989 [/ matemáticas]

completando el cuadrado

[matemáticas] (x-0.618033988) (x + 1.618033989) [/ matemáticas]

---

Método 2

Completando el cuadrado

[matemáticas] x ^ 2 + x -1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] mover el número perdido al otro lado [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + x = 1 [/ matemáticas]

[matemática] divida el coeficiente del término medio entre 2 y cuadrácelo y sumelo a ambos lados de la ecuación [/ matemática]

[matemáticas] x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] (x + \ frac {1} {2}) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] x = \ frac {-1} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {5} {4}} [/ matemáticas]

Answer 12

Me siento obligado a responder esto por algunas razones, pero por favor perdóname por la mala escritura ya que tengo que hacer esto en mi iPhone.

x ^ 2 + x – 1 = 0 -> Ecuación 1 (dada)

Para completar el cuadrado:
Sabemos que (x + c) ^ 2 = x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 -> Ecuación 2

Compare la ecuación 2 con la ecuación 1:
=> 2c = 1 => c = 1/2
Por lo tanto, de la ecuación 2, para completar el cuadrado, c ^ 2 debe ser 1/4.
Para lograr esto, agregue 5/4 en ambos lados de la ecuación 1.
=> x ^ 2 + x – 1 + 5/4 = 0 + 5/4
=> x ^ 2 + x + 1/4 = 5/4
=> (x + 1/2) ^ 2 = 5/4
=> x = +/- (5/4) ^ 1/2 – 1/2.
= +/- (5 ^ 1/2) / 2 – 1/2.

Espero que esto ayude.

Answer 13

Para completar el cuadrado, necesitamos agregar un término de [matemáticas] \ left (\ frac {b} {2a} \ right) ^ 2 = \ frac {1} {4} [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 + x-1 = x ^ 2 + x + \ frac {1} {4} -1- \ frac {1} {4} = \ left (x + \ frac {1} {2} \ right ) ^ 2-1- \ frac {1} {4} = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ izquierda (x + \ frac {1} {2} \ derecha) ^ 2 = \ frac {5} {4} [/ matemática]

[matemáticas] x + \ frac {1} {2} = \ pm \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]