¿Es esta prueba de que la adición de la clase de residuo Z_4 es asociativamente válida?

Answer 1

Hola,

Con respecto a sus diferentes preguntas:

1) Cuando escribe [math] m_4 + n_4 = (m + n) _4 [/ math] en realidad escribe una igualdad en [math] \ mathbb {Z} _4 [/ math] así que lo que necesita demostrar es [math ] (m_4 + n_4- (m + n) _4) _4 = 0 [/ matemática]

Ahora notó que [math] x_4 = x – [x / 4] \ times 4 [/ math] (esta vez la igualdad está en [math] \ mathbb {Z} [/ math] para que pueda reescribir [math] ( m_4 + n_4- (m + n) _4) _4 = m + n – [m / 4] \ times 4 – [n / 4] \ times 4 – (m + n) + [(m + n) / 4] \ times 4 [/ math]. Debido a que [math] m + n [/ math] se cancela entre sí, el resultado es [math] ([(m + n) / 4] – [m / 4] – [n / 4]) \ times 4 [/ math] que es divisible por 4, por lo tanto, es igual a 0 módulo 4. Qed

Básicamente, esto le permite hablar de [math] \ mathbb {Z} _4 [/ math] como un grupo aditivo. Esto también transporta todas las propiedades geniales de la adición en [math] \ mathbb {Z} [/ math] en [math] \ mathbb {Z_4} [/ math] (conmutatividad, asociatividad …). De hecho, [matemáticas] (a_4 + b_4) + c_4 = (a + 2) _4 + c_4 = (a + b + c) _4 = a_4 + (b_4 + c_4) [/ matemáticas]

2) Ahora esta pregunta se vuelve redundante con respecto a la anterior, pero esta es una prueba válida: lo que haces es básicamente reescribir la identidad en [math] \ mathbb {Z} [/ math]

3) Este es un atajo que los matemáticos suelen usar. De hecho, cuando se trabaja en [math] \ mathbb {Z} _4 [/ math], que en realidad es un anillo conmutativo (es decir, un conjunto donde puede realizar sumas, restas, multiplicaciones pero no divisiones, como en [math] \ mathbb { Z} [/ math]), todos los símbolos [math] +, -, \ times, = [/ math] tienen un significado diferente, pero sería molesto escribirlos todos con un subíndice 4. Lo mismo ocurre con los elementos de [math] \ mathbb {Z} _4 [/ math]

Luego puede reescribir la conmutatividad de esta manera:

[math] \ forall a, b, c \ in \ mathbb {Z} _4, (a + b) + c = a + (b + c) [/ math]

Espero que haya ayudado!