¿Cuáles son los números que satisfacen la ecuación [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 2 = z ^ 2 [/ matemáticas]?

Supongo que hay infinitos enteros que satisfacen esta ecuación. Y, por supuesto, hay infinitos números reales que satisfacen estas condiciones. He generado todos los tríos posibles con X de -50 a 50 (excluyendo cero trivial) e Y de 1 a 50 [EDITAR: resultados refinados]:

XYZ

-12 42 6

-12 43 11

-12 48 24

-10 35 15

-9 27 0

-9 45 36

-8 24 8

-8 36 28

-7 28 21

-6 15 3

-6 21 15

-6 29 25

-5 15 10

-4 8 0

-4 10 6

-4 17 15

-3 6 3

-3 14 13

-2 3 1

-1 1 0

2 1 3

3 3 6

3 13 14

4 6 10

4 15 17

5 10 15

6 3 15

6 15 21

6 25 29

7 21 28

8 8 24

8 28 36

9 36 45

10 15 35

10 45 55

12 6 42

12 11 43

12 24 48

12 39 57

12 46 62

14 35 63

15 15 60

15 49 76

16 48 80

18 27 81

20 10 90

21 42 105

24 10 118

24 24 120

28 42 154

30 15 165

35 35 210

40 3 253

42 21 273

48 48 336

Es bastante fácil ver que hay infinitas soluciones enteras, ya que la ecuación de Diofantina se puede reorganizar como

[matemáticas] x ^ 3 = (zy) (z + y) [/ matemáticas]

lo que reduce el problema a encontrar dos factores de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] con la misma paridad, lo cual es claramente posible para todos [matemáticas] x [/ matemáticas]. Como ejemplo aleatorio, podemos elegir [matemática] x = 5 [/ matemática] y factorizar [matemática] 5 ^ 3 = 5 \ cdot 25 [/ matemática] que nos da la solución [matemática] 5 ^ 3 + 10 ^ 2 = 15 ^ 2 [/ matemáticas]. Una forma más general de esto se puede escribir en forma de identidad

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3 + \ left (\ frac {x ^ 2 – x} {2} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac {x ^ 2 + x} {2} \ right) ^ 2 [/matemáticas]

que produce una solución para cada [math] x \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Puedes usar x = 0 y = 0 y z = 0.

O x = 1 y = 1 z = [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]

O x = 0 e y = z con cualquier valor para y

Tienes una cantidad infinita de posibilidades.