¿Cómo [math] 6x ^ 3-6 [/ math] factor diferente en irreducibles en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math] en comparación con [math] \ mathbb {Q} [x] [/ math ]?

Answer 1

Considere factorizar el elemento [math] 15 \ in \ mathbb {Z} [/ math]. Si insistimos en que una “factorización” es un producto de elementos irreducibles, entonces nuestra factorización debería ser

[matemáticas] -15 = (-3) \ cdot 5 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] -15 = 3 \ cdot (-5) [/ matemáticas].

Por supuesto, lo que realmente preferimos escribir es algo similar a

[matemáticas] -15 = (-1) \ cdot 3 \ cdot 5 [/ matemáticas].

Para permitir esto, generalmente definimos una factorización como un producto de cierto número de irreducibles y como máximo una unidad . (Por supuesto, según esta definición, las tres factorizaciones dadas anteriormente siguen siendo válidas).

En [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math], tienes

[matemática] 6x ^ 3 – 6 = 6 (x ^ 3 – 1) = 2 \ cdot 3 \ cdot (x-1) \ cdot (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática]

y esta es una factorización completa en irreducibles. Sin embargo, en [math] \ mathbb {Q} [x] [/ math], el número 6 es una unidad, por lo que simplemente escribiríamos

[matemática] 6x ^ 3 – 6 = 6 (x ^ 3 – 1) = 6 \ cdot (x-1) \ cdot (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática]

Aquí 6 es una unidad y los otros dos términos son irreductibles. Por supuesto, dado que 6 es una unidad, también podríamos moverlo a uno de los términos irreductibles, en paralelo a cómo podríamos escribir -15 = (-3) * 5 arriba:

[matemática] 6x ^ 3 – 6 = (6x-6) \ cdot (x ^ 2 + x + 1) [/ matemática]

El término 6x-6 es reducible en [math] \ mathbb {Z} [x] [/ math], pero irreducible en [math] \ mathbb {Q} [x] [/ math]. Sin embargo, el buen gusto dicta que debemos usar la factorización anterior en lugar de la segunda.

No sé si esto fue solo un error tipográfico en su pregunta, pero ciertamente no es el caso de que esta expresión se factorice como [math] (x-1) \ cdot (x ^ 2 + x + 1) [/ math], ya que eso no es igual a la expresión original.