¿Por qué necesitamos álgebra sigma para definir la medida?

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La esencia es que hay medidas muy naturales (por ejemplo, medida de Lebesgue y su generalización, medida de Haar) que no pueden asignar una medida a todos los subconjuntos de un conjunto [matemática] X [/ matemática]. En lugar de restringir severamente la clase de medidas válidas, decimos que está bien si nuestra medida solo funciona en un conjunto privilegiado de subconjuntos de [matemáticas] X [/ matemáticas] que llamamos un álgebra sigma (“álgebra” se refiere a su cierre bajo operaciones establecidas).

Tome [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Queremos una medida natural que tenga las propiedades intuitivas de área / volumen. Entonces, esta medida, más allá de los requisitos axiomáticos (es decir, no negativa, 0 en el conjunto vacío, contablemente aditivo), sería invariante de traducción, finita en conjuntos acotados y “regular”. Si también requerimos que la unidad [math] n [/ math] -square tenga la medida 1, estas propiedades producen únicamente la medida de Lebesgue.

Si define la integración utilizando esta medida, deriva rigurosamente la integración de Lebesgue, que amplía estrictamente la integración de Riemann. ¡Hemos elegido bien!

Sin embargo, por el axioma de elección, resulta que uno puede construir subconjuntos de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] que bajo las propiedades de la medida de Lebesgue, no tienen una medida bien definida (p. Ej., Conjuntos de Vitali ) ¿Tiramos la medida de Lebesgue? ¡No!

En cambio, aceptamos que nuestra medida solo funciona en algunos subconjuntos de [math] X [/ math] (y por las propiedades de la medida, funciona en el álgebra [math] \ sigma [/ math] que generan). Esta no es una gran pérdida. Por ejemplo, a la inversa, las construcciones de subconjuntos no medibles de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] requieren el axioma de elección (modelo Solovay).