No necesita el hecho de que [math] R [/ math] es un dominio integral, ni el hecho de que [math] p [/ math] es primo. La afirmación es cierta para cualquier anillo y cualquier elemento de ese anillo.
El isomorfismo se da enviando [matemáticas] X [/ matemáticas] a (la clase de residuos de) cero, es decir, enviando (la clase de residuos de) un polinomio [matemáticas] f [/ matemáticas] a (la clase de residuos de ) [matemáticas] f (0) [/ matemáticas].
Puedes ver fácilmente que esto está bien definido, es inyectivo y sobreyectivo.
Para ser más precisos: Primero, por la propiedad universal del anillo polinomial, podemos definir un homomorfismo [matemático] R [/ matemático] de álgebra desde [matemático] R [X] [/ matemático] a cualquier [matemático] R [ / math] -álgebra eligiendo dónde enviar [math] X [/ math].
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Entonces, al enviar [math] X [/ math] a [math] 0 [/ math], obtenemos un [math] R [/ math] -algebra homomorphism [math] \ psi: R [X] \ rightarrow R / (p ) [/ math], [math] f \ mapsto \ overline {f (0)} [/ math].
Por la propiedad universal de los anillos factoriales, esto induce un homomorfismo [math] \ phi: R [X] / (X, p) \ rightarrow R / (p) [/ math] if [math] \ psi [/ math] maps [matemática] (X, p) [/ matemática] a cero, que es equivalente a [matemática] \ psi (X) = \ psi (p) = 0 [/ matemática], lo cual es trivialmente cierto.
Ahora que tenemos nuestro morfismo [matemática] \ phi [/ matemática], debemos demostrar que es un isomorfismo, es decir, sobreyectivo e inyectivo.
La surjetividad es trivial, una preimagen de [math] \ bar {a} [/ math] está claramente dada por (la clase del polinomio constante) [math] a [/ math].
La inyectividad es la parte más interesante: Sea [matemático] a_0 + a_1X +… + a_nX ^ n [/ matemático] un polinomio que se asigna a cero bajo [matemático] \ phi [/ matemático]. Por definición de [matemática] \ phi [/ matemática] y [matemática] \ psi [/ matemática], esto significa [matemática] f (0) \ in (p) [/ matemática], entonces [matemática] f (0) = a_0 + a_1 \ cdot 0 +… + a_n \ cdot 0 ^ n = a_0 = bp [/ math] para a [math] b \ in R [/ math].
Pero entonces [math] f = p \ cdot X + X \ cdot (a_1 + a_2X +… + a_nX ^ {n-1}) \ in (p, X) [/ math], entonces [math] f [/ math ] es cero en [matemáticas] R [X] / (X, p) [/ matemáticas].
Esto concluye la prueba.