Esta es una ecuación lineal de segundo orden, de la forma [matemática] a [/ matemática] [matemática] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + b \ frac {dy} {dx} + cy = f ( x) [/ math] que también se puede escribir como (si [math] \ frac {d} {dx} [/ math] es [math] D [/ math]),
[matemáticas] (aD ^ 2 + bD + c) y = f (x) [/ matemáticas]
Donde, [matemáticas] a = 1, b = 6, c = 10 [/ matemáticas]
Creamos una ecuación auxiliar [matemática] m ^ 2 + 6m + 10 = 0 [/ matemática] y resolvemos.
[matemáticas] m = -3-i, i-3 [/ matemáticas]
Tenemos 2 raíces complejas, la parte compleja es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (coeficiente de [matemáticas] i [/ matemáticas] – [matemáticas] \ beta [/ matemáticas]), y la parte real es [matemáticas] – 3 [/ matemáticas] ([matemáticas] \ alfa [/ matemáticas])
Entonces, nuestro CF es de la forma [matemáticas] e ^ {\ alpha x} (Acos (\ beta x) + Bsin (\ beta x)) [/ matemáticas] usando la fórmula de Eulers [matemáticas] e ^ {ix} = cos (x) + isin (x) [/ math]
[matemáticas] e ^ {- 3x} (Acos (x) + Bsin (x)) [/ matemáticas]
Nuestro PI [math] \ int \ frac {f (x)} {\ phi (D)} [/ math] es,
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 6D + 10} \ veces (3xe ^ {3x} -2e ^ {3x} cos (x)) [/ matemáticas]
Podemos tomar dos partes, [matemáticas] 3xe ^ {3x}, 2e ^ {3x} cos (x) [/ matemáticas]
Tomando la primera parte,
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 6D + 10} \ veces 3xe ^ {3x} [/ matemáticas]
Tenemos esto como la forma de [matemáticas] e ^ {rx} x ^ n, r = 3, n = 1, [/ matemáticas]
También traemos la constante [math] 3 [/ math] al frente y comenzamos a trabajar en [math] e ^ {3x} [/ math], poniendo, [math] D = D + r = D + 3, [ /matemáticas]
[matemáticas] 3 (e ^ {3x} \ frac {1} {D ^ 2 + 12D + 37} \ veces x) [/ matemáticas]
Ahora, debemos factorizar todo el denominador por el último término, [math] 37 [/ math]. También traemos [math] e ^ {3x} [/ math] al frente.
[matemáticas] 3e ^ {3x} (\ frac {1} {(37) (\ frac {D ^ 2} {37} + \ frac {12} {37} +1)} \ veces x) [/ matemáticas]
Trayendo [math] \ frac {1} {37} [/ math] al frente,
[matemáticas] \ frac {3} {37} e ^ {3x} ((1 + (\ frac {D ^ 2} {37} + \ frac {12} {37} D)) ^ {- 1} x) [/matemáticas]
Recordando eso, [matemáticas] (1 + x) ^ {- 1} = 1-x + x ^ 2-x ^ 3 + x ^ 4… [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] (1 + (\ frac {D ^ 2} {37} + \ frac {12} {37})) ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemática] 1 – (\ frac {D ^ 2} {37} + \ frac {12} {37} D) ……. [/ matemática]
Multiplicamos todo esto por [matemáticas] x [/ matemáticas],
[matemáticas] x – (\ frac {D ^ 2 (x)} {37} + \ frac {12} {37} D (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] x- (0+ \ frac {12} {37} (1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] x- \ frac {12} {37} [/ matemáticas]
Multiplicando con el resto, [matemáticas] e ^ {3x} \ frac {3} {37}, [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {3x} (\ frac {3x} {37} – \ frac {36} {1369}) [/ matemáticas]
En segundo lugar, tomamos, [matemáticas] 2e ^ {3x} \ cos (x) [/ matemáticas]
Escribimos [math] \ cos (x) [/ math] como [math] \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} [/ math]
[matemáticas] 2e ^ {3x} \ cos (x) = e ^ {(3 + i) x} + e ^ {(3-i) x} [/ matemáticas]
El PI de esto se compone nuevamente de dos partes,
[matemáticas] e ^ {(3 + i) x}, e ^ {(3-i) x} [/ matemáticas]
Tomando [matemáticas] 3 + i [/ matemáticas] primero,
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 6D + 10} \ veces e ^ {(3 + i) x} [/ matemáticas]
Poner, [matemáticas] D = 3 + i, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {9 + 6i-1 + 18 + 6i + 10} \ veces e ^ {(3 + i) x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {e ^ {(3 + i) x}} {36 + 12i} [/ matemáticas]
En segundo lugar, tomamos [matemáticas] e ^ {(3-i) x}, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {D ^ 2 + 6D + 10} \ veces e ^ {(3-i) x} [/ matemáticas]
Poner, [matemáticas] D = 3-i, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {e ^ {(3-i) x}} {36-12i} [/ matemáticas]
Ahora, tenemos el PI total de [math] 2e ^ {3x} \ cos (x) [/ math] es la suma de estos, o [math] \ frac {e ^ {(3 + i) x}} { 36 + 12i} + \ frac {e ^ {(3-i) x}} {36-12i} [/ math]
Ahora, tome los PI de todas las cosas que he dado y trabaje en ellas. Debes necesitar solo estos.
