Resuélvelo como dos desigualdades cuadráticas separadas. La desigualdad de la izquierda es:
[matemáticas] 2 \ leq x ^ 2 + x [/ matemáticas]
En forma estándar, esto sería:
[matemáticas] 0 \ leq x ^ 2 + x-2 [/ matemáticas]
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Esto se factoriza fácilmente de la manera habitual (aunque cualquier método para resolver ecuaciones cuadráticas funcionará aquí):
[matemáticas] 0 \ leq (x + 2) (x-1) [/ matemáticas]
Esto corresponde a los ceros -2 y 1, y por lo tanto los intervalos [matemática] (- \ infty, -2] [/ matemática], [matemática] [-2, 1] [/ matemática] y [matemática] [1 , \ infty) [/ math]. Elegiremos un número en cada intervalo para ver qué intervalo satisface la desigualdad: -3, 0 y 2.
[matemática] (- 3) ^ 2 + (- 3) -2 = 4 [/ matemática] que es positivo para que funcione el intervalo izquierdo. (En este punto, por simetría y forma de parábolas, podemos adivinar que el intervalo medio fallará y el intervalo correcto tendrá éxito, pero solo para completar 🙂
[matemáticas] 0 ^ 2 + 0-2 = -2 [/ matemáticas] que es negativo y falla.
[matemáticas] 2 ^ 2 + 2-2 = 4 [/ matemáticas] que es positivo para que funcione el intervalo correcto.
Por lo tanto, la solución establecida para la desigualdad izquierda es [matemática] (- \ infty, -2] \ cup [1, \ infty) [/ math]
Ahora resuelva la desigualdad correcta:
[matemáticas] x ^ 2 + x \ leq 12 [/ matemáticas]
Nuevamente póngalo en forma estándar:
[matemáticas] x ^ 2 + x-12 \ leq 0 [/ matemáticas]
Y factor:
[matemáticas] (x + 4) (x-3) \ leq 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, los posibles intervalos de solución son [matemática] (- \ infty, -4] [/ matemática], [matemática] [-4, 3] [/ matemática] y [matemática] [3, \ infty) [/ matemática ] Podemos probar -5, 0 y 4 para ver que solo el intervalo medio satisfará la desigualdad en este caso:
[matemáticas] 0 ^ 2 + 0-12 = -12 \ leq 0 [/ matemáticas]
Para satisfacer nuestra desigualdad compuesta original, tenemos que satisfacer simultáneamente las dos desigualdades que acabamos de resolver, por lo que debemos tomar la intersección de sus conjuntos de soluciones.
La mitad izquierda del primer conjunto de soluciones, [math] (- \ infty, -2] [/ math] se cruza con el segundo conjunto de soluciones [math] [-4, 3] [/ math] en el intervalo [math] [ -4, -2] [/ matemáticas].
La mitad derecha del primer conjunto de soluciones, [math] [1, \ infty) [/ math], se cruza con el segundo conjunto de soluciones en el intervalo [math] [1, 3] [/ math].
Por lo tanto, la solución completa establecida para la desigualdad compuesta es [matemática] [-4, -2] \ cup [1, 3] [/ matemática].