Aunque sé que puedes hacerlo, veamos la parte I primero. Podríamos moler el cubo en coordenadas rectangulares, pero vamos a hacerlo en coordenadas polares.
[matemática] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ matemática] para entero [matemática] k, [/ matemática] entonces las raíces cúbicas de [matemática] 1 [/ matemática] son [matemática] 1 ^ \ frac { 1} {3} = e ^ {i \ frac {2 \ pi k} {3}}. [/ Math] Aquí solo hay tres números complejos únicos porque sumar [math] 2 \ pi i [/ math] en exponente no cambia el número. [matemática] k = 1 [/ matemática] da [matemática] e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} = cos \ frac {2 \ pi} {3} + i \ sin {\ frac {2 \ pi} {3}} = – \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}. [/ math]
Por cierto, recuerde que la mitad de un triángulo equilátero es un triángulo rectángulo de 30,60,90 y si la hipotenusa es [matemática] 1 [/ matemática] entonces el lado corto es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática ] y el otro lado es [math] \ sqrt {1 – (\ frac {1} {2}) ^ 2} = \ frac {\ sqrt {3}} {2}. [/ math] Esto te permite ejercitarte el pecado y el cos para todos los múltiplos de 30 grados, incluido el ángulo de 120 grados que tenemos aquí. El ángulo de (una) raíz cúbica de 1 (360 grados) es de 120 grados. 240 grados o -120 grados también es una raíz cúbica de uno, que es un tercio de 720 grados. En el círculo unitario, esto corresponde al número complejo [matemáticas] e ^ {i \ frac {-2 \ pi} {3}} = [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {1} {2} – i \ frac { \ sqrt {3}} {2} [/ math], para responder la otra parte.
El punto es que si tiene el número en forma polar, el ángulo de la raíz cúbica [matemática] z [/ matemática] será [matemática] \ frac {1} {3} [/ matemática] del ángulo de [matemática] z ^ 3 [/ matemática] y podemos obtener otras raíces agregando múltiplos de [matemática] \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemática] al ángulo.
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La magnitud de la raíz cúbica es la raíz cúbica de la magnitud, como para los números reales.
La parte ii convenientemente nos da una raíz, [matemática] z_1 = 2 + i. [/ Matemática] Para generar las otras dos tenemos que agregar [matemática] \ pm \ frac {2 \ pi} {3} [/ matemática] a el ángulo. [math] z_1 [/ math] no tiene una buena forma polar, pero recordamos que agregar al ángulo [math] \ theta [/ math] es lo mismo que multiplicar por [math] e ^ {i \ theta} . [/ math] Entonces sabemos de la parte i que queremos multiplicar por [math] e ^ {i \ frac {\ pm 2 \ pi} {3}} = [/ math] [math] – \ frac {1} {2} \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math]. Así, nuestras otras dos raíces son
[matemáticas] z_2 = \ frac {1} {2} (- 1 + i \ sqrt {3}) (2 + i) = \ frac {1} {2} (- 2 + i 2 \ sqrt {3} – i – \ sqrt {3}) = \ frac {-2- \ sqrt {3}} {2} + i \ frac {2 \ sqrt {3} -1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] z_3 = \ frac {1} {2} (- 1 – i \ sqrt {3}) (2 + i) = \ frac {1} {2} (- 2 – i 2 \ sqrt {3} – i + \ sqrt {3}) = \ frac {-2+ \ sqrt {3}} {2} + i \ frac {-2 \ sqrt {3} -1} {2} [/ matemáticas]
Ahora esencialmente hicimos [math] (\ sqrt [3] {2 + 11i}) (\ sqrt [3] {1}) [/ math] por lo que su cubo debería ser correcto, pero es mejor verificarlo. Es lo suficientemente complicado como para que quieras usar una calculadora en lugar de moler el cubo exacto. O conéctelo a Wolfram. [(-2-Sqrt[3])/2 + I (2Sqrt[3]-1)/2]^3 hecho funciona para [matemáticas] 2 + 11i [/ matemáticas]. [math] z_3 [/ math] verifica también.