Gracias por el A2A, George. [matemáticas] f (3) = 3. [/ matemáticas]
Primero tenga en cuenta que [matemáticas] f (f (3)) = 3 ^ 2-5 \ cdot 3 + 9 = 3. [/ matemáticas] Así [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es un punto fijo para [matemáticas] f \ circ f. [/ math]
Ahora suponga que [matemáticas] f (3) = a. [/ Matemáticas] Entonces [matemáticas] f (a) = f (f (3)) = 3. (*) [/ Matemáticas]
Por otro lado, [matemáticas] f (f (a)) = a ^ 2-5a + 9 [/ matemáticas] y (*) implica que [matemáticas] f (f (a)) = f (3) = a . [/matemáticas]
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Por lo tanto, [matemática] a ^ 2-5a + 9 = a [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] (a-3) ^ 2 = 0 [/ matemática].
Por lo tanto, [math] f (3) = a = 3 [/ math] si existe [math] f [/ math] (en este caso sí existe pero la prueba de esto no es trivial).
Observación: De hecho, una pregunta relacionada (una versión pesada de esta) ya se ha discutido en Quora, ver Si [matemática] f (f (x)) = x ^ 2-1 [/ matemática], ¿qué es [matemática ] f (x) [/ matemáticas]?
Verifique la respuesta de Joseph Heavner para las condiciones cuando existe una solución real valorada de tales ecuaciones funcionales. Esta pregunta es un poco artificial, porque [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es un punto muy especial. Si quisiera pedir, por ejemplo, [math] f (1) [/ math] no podría responderlo porque en general no hay forma de construir una solución de tales ecuaciones funcionales explícitamente.