Cómo comparar 7 ^ (1/2) -1 y 5 ^ (1/3)

Answer 1

Primero, observe que el factor común más pequeño de 2 y 3 (el denominador de los exponentes) es 6. Entonces, elevar ambos lados a la sexta potencia es una forma de hacerlo, pero también requerirá un poco más de trabajo. En cambio, elevemos ambos lados a la tercera potencia. Esto se debe a que no puedo elevar [math] \ sqrt {7} – 1 [/ math] a ninguna potencia y obtener un número entero, pero puedo hacerlo por el lado derecho.

* Nota: Estoy usando un signo igual, pero en realidad no son iguales. Es solo por conveniencia

** No se requiere adivinar

[matemáticas] \ sqrt {7} – 1 = \ sqrt [3] {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ sqrt {7} – 1) ^ 3 = (\ sqrt [3] {5}) ^ 3 [/ matemáticas]

Expandir a la izquierda

[matemáticas] 7 \ sqrt {7 ^ 3} – 3 * (\ sqrt {7 ^ 2}) + 3 * (\ sqrt {7}) – 1 = 5 [/ matemáticas]

Ahora, agrupe los términos positivos y negativos juntos

[matemáticas] (\ sqrt {7 ^ 3}) + 3 * (\ sqrt {7}) – (3 * (7 ^ 1) + 1) = 5 [/ matemáticas]

Factoriza un [math] \ sqrt {7} [/ math] de los primeros 2 términos a la izquierda

[matemáticas] (\ sqrt {7}) * (7 ^ 1 + 3 * 7 ^ 0) – 22 = 5 [/ matemáticas]

Agregue 22 a ambos lados

[matemáticas] (\ sqrt {7}) * (3 + 7) = 27 [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ sqrt {7}) * 10 = 27 [/ matemáticas]

Ahora, podemos poner el 10 en la raíz ya que [math] 10 = (\ sqrt {100}) [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {7 * 100} = 27 [/ matemáticas]

Ahora, 27 al cuadrado es 729, por lo que el lado derecho es más grande que el izquierdo.

Por lo tanto, [math] \ sqrt {7} – 1 <\ sqrt [3] {5} [/ math]

Answer 2

Puede haber formas mejores y más rápidas de hacer esto, pero lo siguiente funciona para mí (hecho mentalmente y, por lo tanto, afirmando que es mentalmente factible):

La raíz cuadrada de 7 se puede adivinar usando el hecho de que estaría entre la raíz cuadrada de 7.29 y 6.76, que son cuadrados perfectos de 2.7 y 2.6. Entonces, el primer término se encuentra en algún lugar entre 1.7 y 1.6. Entonces, el cubo del primer término debe estar entre 1.7 * 2.89 y 1.6 * 2.56, los cuales son menores que 5. Por lo tanto, el primer término es menor que el segundo término. Tenga en cuenta que 1.7 * 2.89 <1.7 * 2.9 = 4.93.

Answer 3

Yo usaría mi calculadora.

7 ^ 1/2 – 1 ~ 1.645

5 ^ 1/3 ~ 1.709

Entonces 7 ^ 1/2 – 1 <5 ^ 1/3