Si la raíz cuadrada de 2 es irracional, ¿por qué es igual a 1607521/1136689?

Answer 1

Hay un par de formas de demostrar que su calculadora está equivocada: suponga que en ambos sentidos es correcta y lógicamente deriva una contradicción: la forma más fácil es cuadrar la igualdad reclamada:

sqrt (2) = 1607521/1136689

y deducir:

2 * (1136689) ^ 2 = (1607521) ^ 2

y observe, sin ningún cálculo en absoluto, que si bien el lado izquierdo de esa igualdad es par (Un múltiplo de 2), el lado derecho es definitivamente impar (el cuadrado de un número impar es impar). CONTRADICCIÓN.

La segunda forma es usar la identidad sqrt (2) = (2-sqrt (2)) / (sqrt (2) -1) (Pruébelo).

Ahora note que si la igualdad

sqrt (2) = 1607521/1136689

eran correctos, entonces

sqrt (2) = (2-1607521 / 1136689) / (1607521 / 1136689-1) =

= (2 * 1136689-1607521) / (1607521-1136689) = 665857/470832.

Sustituya la nueva relación en la identidad anterior y deduzca

sqrt (2) = (2-665857 / 470832) / (665857 / 470832-1) =

= (2 * 470832-665857) / (665857-470832) = 275807/195025.

Continúe con el mismo paso varias veces y descubrirá que:

1 <sqrt (2) = 114243/80782 = 47321/33461 = 19601/13860 = 8119/5741 =

= 3363/2378 = 1393/985 = 577/408 = 239/169 = 99/70 = 41/29 = 17/12 =

= 7/5 = 3/2 = 1/1 = 1,

y una vez más, nuestra suposición inicial nos llevó a una contradicción obvia y, por lo tanto, es incorrecta, es decir, sqrt (2) no podría ser igual a 1607521/1136689. Tenga en cuenta que todas las igualdades que he escrito anteriormente son realmente incorrectas, ya que todas se derivan de nuestra suposición falsa.

Answer 2

La raíz cuadrada de 2 es irracional. NO es igual a 1607521/1136689. Resulta estar muy cerca de esa fracción, lo suficientemente cerca como para que las formas decimales coincidan con los primeros once lugares decimales. Pero eso no es lo mismo que igual.

Tenga en cuenta que podemos ver de un vistazo que 1607521/1136689 no puede ser exactamente igual a la raíz cuadrada de 2, porque si fuera 1607521² / 1136689² sería igual a 2, pero ese es un número impar al cuadrado dividido por otro número impar al cuadrado y ¡eso nunca puede producir un número par como resultado! De hecho, 1136689² = 1292061882721, y dos veces esto es 2584123765442, mientras que 1607521² = 2584123765441 – muy cerca, solo difiere en 1, pero no obstante difiere.

Answer 3

No se preocupe, [math] \ sqrt {2} [/ math] sigue siendo irracional. [math] \ frac {1607521} {1136689} [/ math] es una aproximación. Si verificaste cada dígito del primero con el último, comenzarán a salirse unos de otros en un momento u otro. Lo mismo es el caso con [math] \ pi [/ math] y [math] \ frac {22} {7} [/ math]

Answer 4

Instrucciones: “Simplemente use una calculadora para encontrar el valor de debajo de la raíz 2 y 1607521/1136689. No redondee las cifras”.

Yo: “Está bien”.

Mi calculadora (¡Calculadora de Windows 7!) Me da las siguientes cifras:

Para [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]: 1.41421356237 30950488016887242097

Para [matemáticas] 1607521 \ div 1136689 [/ matemáticas]: 1.41421356237 28214137728085694504

Claramente, los dos números son diferentes; por lo tanto, [math] \ sqrt {2} \ ne \ frac {1607521} {1136689} [/ math].

La raíz cuadrada de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] no puede ser racional. Si lo fuera, entonces habría una fracción [matemática] \ frac {p} {q} [/ matemática] que satisface la ecuación

[matemática] \ izquierda (\ frac {p} {q} \ derecha) ^ 2-2 = 0. [/ matemática]

Reescribimos la ecuación así:

[matemáticas] \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} – 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 – 2q ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 = 2q ^ 2. [/ matemáticas]

Si [math] p [/ math] es el producto de primos (no necesariamente distintos) [math] p_1p_2 \ cdots p_m [/ math], y [math] q [/ math] es el producto de primos (no necesariamente distintos) [matemáticas] q_1q_2 \ cdots q_n [/ matemáticas], luego

[matemáticas] (p_1p_2 \ cdots p_m) ^ 2 = 2 (q_1q_2 \ cdots q_n) ^ 2. [/ matemáticas]

Ahora, el Teorema de factorización único (también conocido como el Teorema fundamental de la aritmética) establece que cada número entero mayor que uno puede expresarse de manera única como el producto de números primos. ¡Pero la ecuación anterior tiene el mismo número escrito como el producto de dos conjuntos diferentes de números primos! El lado izquierdo es un producto de primos que incluye un número par (posiblemente cero) de dos, mientras que el lado derecho es un producto de primos que incluye un número impar de dos. Esto viola el teorema de factorización único; por lo tanto, [math] \ sqrt {2} [/ math] no puede ser racional.

También puede ver una prueba alternativa de que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional aquí: Cómo demostrar rápidamente que [math] \ sqrt {n} [/ math] es irracional a menos que [math] n [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto.

Answer 5

Veamos … Dos números de 7 dígitos no obvios realmente grandes juntos pueden dar un valor que coincida con [math] \ sqrt {2} [/ math] a 12 dígitos. ¿Puedes ver cómo eso no es de ninguna manera notable? 99/70 es un total de 4 dígitos y coincide [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] correcta a 4 dígitos.

Answer 6

Si [math] \ sqrt 2 [/ math] fuera igual a [math] 1607521/1136689 [/ math], entonces [math] 1607521 ^ 2-2 * 1136689 ^ 2 [/ math] sería 0. Pero no lo es. Usa tu calculadora para descubrir qué es realmente.