Vamos a resolver el caso general. Definir,
[matemáticas] I_n = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sin ^ {2n} x + \ cos ^ {2n} x} [/ matemáticas]
tenemos
[matemáticas] I_n = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sec ^ {2n} x} {1+ \ tan ^ {2n} x} \ mathrm {d} x [/ math ]
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que al sustituir [math] u = \ tan x [/ math], toma la forma
[matemáticas] I_n = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {(1 + u ^ 2) ^ {n-1}} {1 + u ^ {2n}} \ mathrm {d} u [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} {{n-1} \ elegir {j}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {u ^ {2j}} {1 + u ^ {2n}} \ mathrm {d} u [/ math]
que resulta de expandir el binomio [matemática] (1 + u ^ 2) ^ {n-1} [/ matemática] en el integrando seguido de pasar la integral a través de la suma. Dejando [math] t = u ^ {2n} [/ math], obtenemos
[matemáticas] I_n = \ frac {1} {2n} \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} {{n-1} \ elegir {j}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {\ frac {1} {2n} + \ frac {jn} {n}}} {1 + t} \ mathrm {d} t = \ frac {1} {2n} \ sum_ {j = 0} ^ {n -1} {{n-1} \ elegir {j}} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {\ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right ) -1}} {(1 + t) ^ {\ left (\ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right) \ right) + \ left (1- \ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right) \ right)}} \ mathrm {d} t [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2n} \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} {{n-1} \ elegir {j}} \ mathrm {B} \ left (\ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right), 1- \ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right) \ right) [/ math ]
donde [math] \ mathrm {B} (x, y) [/ math] denota la función beta y, el último paso resulta de la identidad integral
[matemática] \ mathrm {B} (x, y) = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {t ^ {x-1}} {(1 + t) ^ {x + y}} \ mathrm {d} t, ~~ \ Re (x)> 0, ~ \ Re (y)> 0 [/ math]
Expresando la función beta en términos de la función gamma, obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ frac {1} {2n} \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} {{n-1} \ elegir {j}} \ frac {\ Gamma \ left (1- \ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right) \ right) \ Gamma \ left (\ frac {1} {n} \ left (j + \ frac {1} {2 } \ right) \ right)} {\ Gamma (1)} = \ frac {\ pi} {2n} \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} {{n-1} \ elegir {j}} \ frac {1} {\ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ left (j + \ frac {1} {2} \ right) \ right)} [/ math]
usando la identidad de la función gamma [math] \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = \ frac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}, ~~ 0 <z <1 [/ math]. Particularmente, para el problema dado tenemos
[matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ sin ^ 6x + \ cos ^ 6x} = I_3 = \ frac {\ pi} {6} \ izquierda (\ frac {1} {\ sin (\ pi / 6)} + \ frac {2} {\ sin (\ pi / 2)} + \ frac {1} {\ sin (5 \ pi / 6)} \ right) = \ pi [/ math]
Salud !