Si x + y + z = pi, demuestre que: cosx + cosy + cosz = 1 + 4 sin (x / 2) sin (y / 2) sin (z / 2)?

[matemáticas] 1 + 4 \ sin (\ frac {x} {2}) \ sin (\ frac {y} {2}) \ sin (\ frac {z} {2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 + 2 (\ cos (\ frac {x} {2} – \ frac {y} {2}) – \ cos (\ frac {x} {2} + \ frac {y} {2} )) \ sin (\ frac {z} {2}) * [/ math]

[matemáticas] = 1 + 2 \ cos (\ frac {x} {2} – \ frac {y} {2}) \ sin (\ frac {z} {2}) – 2 \ cos (\ frac {x} {2} + \ frac {y} {2}) \ sin (\ frac {z} {2}) [/ math]

[matemáticas] = 1 + \ sin (\ frac {x} {2} – \ frac {y} {2} + \ frac {z} {2}) – \ sin (\ frac {x} {2} – \ frac {y} {2} – \ frac {z} {2}) – \ sin (\ frac {x} {2} + \ frac {y} {2} + \ frac {z} {2}) + \ sin (\ frac {x} {2} + \ frac {y} {2} – \ frac {z} {2}) [/ math]

[matemáticas] = 1 + \ sin (\ frac {x-y + z} {2}) – \ sin (\ frac {xyz} {2}) – \ sin (\ frac {x + y + z} {2 }) + \ sin (\ frac {x + yz} {2}) [/ math]

[matemáticas] = 1 + \ sin (\ frac {\ pi-aa} {2}) – \ sin (\ frac {x- \ pi + x} {2}) – \ sin (\ frac {\ pi} { 2}) + \ sin (\ frac {\ pi-zz} {2}) [/ math]

[matemáticas] = 1 + \ sin (\ frac {\ pi} {2} -y) – \ sin (x- \ frac {\ pi} {2}) – 1+ \ sin (\ frac {\ pi} { 2} -z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos {y} – \ sin {- (\ frac {\ pi} {2} -x)} + \ cos {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos {y} + \ cos {x} + \ cos {z} [/ matemáticas]

* porque [matemática] 2 \ sin A \ sin B = \ cos (AB) – \ cos (A + B) [/ matemática]

** porque [matemáticas] 2 \ cos A \ sin B = \ sin (A + B) – \ sin (AB) [/ matemáticas]

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