Cómo encontrar el área delimitada por [matemática] y = \ frac {8} {4 + x ^ 2} [/ matemática] y [matemática] y = \ frac {x ^ 2} {4} [/ matemática]

Answer 1

El área delimitada por una intersección de dos figuras es,

Esto está contenido entre 2 cuadrantes, por lo que debemos multiplicar nuestro resultado por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Además, esto está entre [matemáticas] -2 <a <2 [/ matemáticas]. Pero, no necesitamos tomar todo de [matemáticas] -2 \ a 2 [/ matemáticas], así que simplemente multiplicamos

La fórmula es

[matemáticas] \ int_a ^ b (y_1 – y_2) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ int_0 ^ 2 (\ frac {8} {4 + x ^ 2} – \ frac {x ^ 2} {4}) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ int_0 ^ 2 (\ frac {8} {x ^ 2 + 4}) dx – \ frac {x ^ 2} {4} dx [/ matemáticas]

El primer integrando es de la forma [matemáticas] \ int \ frac {1} {x ^ 2 + a ^ 2} dx = \ frac {1} {a} \ arc \ tan (\ frac {x} {a}) + C [/ math] que se puede hacer por sustitución [math] x = a \ tan (\ theta) [/ math], en este caso [math] a = 2 [/ math]

[matemáticas] (- (\ frac {x ^ 3} {12} + 8 (\ frac {\ arc \ tan (\ frac {x} {4})} {4})) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ arc \ tan (\ frac {x} {4}) – \ frac {x ^ 3} {12} + C [/ matemáticas]

Puedes hacer las aproximaciones numéricas.

Answer 2

Ambas funciones son continuas para cualquier número de carrete, por lo que podemos integrarlas para cualquier número real a y b

Si grafica las dos funciones, como sigue

puede ver que el área delimitada por las curvas está limitada por x = -2 yx = 2, y que la curva de la primera función está por encima de la curva de la segunda función entre x = -2 yx = 2. Por lo tanto, el área delimitada por las dos curvas es

La integral definida de [matemáticas] \ int _ {- 2} ^ 2 (\ frac {8} {4 + x ^ 2} – \ frac {x ^ 2} {4}) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int _ {- 2} ^ 2 (\ frac {8} {4 + x ^ 2} – \ frac {x ^ 2} {4}) \, dx = 8 \ int _ {- 2} ^ 2 ( \ frac {1} {2 ^ 2 + x ^ 2}) \, dx- \ frac {1} {4} \ int _ {- 2} ^ 2 x ^ 2 \, dx [/ math]

Sugerencia: use [math] \ displaystyle \ int (\ frac {1} {a ^ 2 + x ^ 2}) \, dx = \ frac {1} {a} \ tan ^ {- 1} \ frac {x} {a} + c [/ matemáticas]

para calcular la primera integral

El resto lo puedes hacer