Si bien la fórmula cuadrática se atribuye comúnmente a Al-Khwarizmi (por ejemplo, padre de álgebra, origen del término “algoritmo”), el método para completar el cuadrado es de naturaleza más general y podría haber sido descubierto de forma independiente por diferentes eruditos antiguos.
El concepto central detrás de completar el cuadrado es realmente la idea de cuadrados perfectos . Al igual que con números como [matemáticas] 9 [/ matemáticas], [matemáticas] 16 [/ matemáticas] o [matemáticas] 25 [/ matemáticas], un polinomio es un cuadrado perfecto cuando es un cuadrado de algún otro polinomio. Sin embargo, para simplificar, cuando las personas hablan de cuadrados perfectos, generalmente se refieren a los siguientes tipos de expresiones:
[matemáticas] \ displaystyle (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle (AB) ^ 2 = A ^ 2 – 2AB + B ^ 2 [/ matemáticas]
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Al cambiar esas ecuaciones, significa que cada vez que tenemos un polinomio con la siguiente forma subyacente:
[matemáticas] \ displaystyle \ Box ^ 2 \ pm 2 \ Box \ triangle + \ triangle ^ 2 [/ math]
Teóricamente tendríamos un cuadrado perfecto.
(pero luego, a menos que podamos reconocer lo que son [matemáticas] \ Box [/ matemáticas] y [matemáticas] \ triángulo [/ matemáticas], no podremos hacer mucho en términos de manipulación de la expresión).
Esto significa, por ejemplo, que si tenemos un polinomio de la forma [matemáticas] x ^ 2 + bx + c [/ matemáticas], siempre podemos ajustar un poco el término constante, para crear un cuadrado perfecto a partir de azul (es decir, rellenando los términos constantes ):
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + bx + c = \ underbrace {x ^ 2 + 2 \ frac {b} {2} x + \ left (\ frac {b} {2} \ right) ^ 2} – \ left (\ frac {b} {2} \ right) ^ 2 + c = (x + \ frac {b} {2}) ^ 2 – \ left (\ frac {b} {2} \ right) ^ 2 + c [/matemáticas]
Sin embargo, esa no es la única forma en que podemos completar el cuadrado, ya que también podemos elegir completar el cuadrado completando el término [math] x [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + 9 = x ^ 2 + 2 (3x) + 3 ^ 2 – 2 (3x) = (x + 3) ^ 2 – 6x [/ matemáticas]
O podemos completar el cuadrado rellenando el término [math] x ^ 2 [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + 3 ^ 2 = \ underbrace {\ left (\ frac {x ^ 2} {6} \ right) ^ 2 +2 \ cdot 3 \ frac {x ^ 2} {6} + 3 ^ 2} – \ left (\ frac {x ^ 2} {6} \ right) ^ 2 = (\ frac {x ^ 2} {\ sqrt {6}} + 3) ^ 2 – \ left (\ frac {x ^ 2} {6} \ right) ^ 2 [/ math]
De cualquier manera, la importancia de completar el cuadrado realmente se destaca cuando se trata de desarrollar técnicas poderosas para manipular la expresión cuadrática . Por ejemplo. en el módulo Factorización cuadrática: un método general que conquista todos y cada uno de los polinomios cuadráticos, que le informa todo sobre la factorización de un trinomio cuadrático, puede notar que si bien no todas las técnicas de factorización son iguales, los métodos cuadráticos “últimos” se basan básicamente en todos sobre el concepto de completar el cuadrado.