Una vez que sepa qué significa [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math] y cómo se definen la suma y la multiplicación en este conjunto, debería ser bastante sencillo demostrar que el coset [math] n \ mathbb {Z} [/ math] es el elemento cero de [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math].
Por [math] \ mathbb {Z} [/ math], por supuesto, nos referimos al conjunto de enteros. Por [math] n \ mathbb {Z} [/ math], nos referimos al conjunto de todos los múltiplos enteros de [math] n [/ math], es decir, el conjunto [math] \ {\ ldots, -2n, -n, 0, n, 2n, \ ldots \} [/ math].
El paso crucial es: ¿cuál es el conjunto [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math]? Este es el conjunto de cosets [math] n \ mathbb {Z} + m [/ math] para todos los enteros [math] m [/ math], es decir, todos los conjuntos posibles de la forma [math] \ {\ ldots, m- 2n, mn, m, m + n, m + 2n, \ ldots \} [/ math]. Si lo piensas bien, el número de tales conjuntos es finito; de hecho, solo hay [matemáticas] n [/ matemáticas] de ellos. Estos son
[matemáticas] n \ mathbb {Z} + 0 = n \ mathbb {Z} = \ {\ ldots, -2n, -n, 0, n, 2n, \ ldots \} [/ math]
[matemáticas] n \ mathbb {Z} +1 = \ {\ ldots, 1-2n, 1-n, 1,1 + n, 1 + 2n, \ ldots \} [/ math]
[matemáticas] n \ mathbb {Z} +2 = \ {\ ldots, 2-2n, 2-n, 2,2 + n, 2 + 2n, \ ldots \} [/ math]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ mathbb {Z} + (n-1) = \ {\ ldots, -1-2n, -1-n, -1, -1 + n, -1 + 2n, \ ldots \} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el coset [math] n \ mathbb {Z} + (n-1) [/ math] es el mismo que el coset [math] n \ mathbb {Z} -1 [/ math], por ejemplo. Claramente, esto es válido para dos cosets [matemática] n \ mathbb {Z} + m_1 [/ matemática] y [matemática] n \ mathbb {Z} + m_2 [/ matemática] satisfactoria [matemática] m_1-m_2 = nk [/ math] para algún número entero [math] k [/ math].
La suma y multiplicación en este conjunto de cosets [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math] se define de la siguiente manera:
[matemáticas] \ left (n \ mathbb {Z} + m_1 \ right) \ oplus \ left (n \ mathbb {Z} + m_2 \ right) = n \ mathbb {Z} + (m_1 + m_2); [/ math ]
[matemáticas] \ left (n \ mathbb {Z} + m_1 \ right) \ odot \ left (n \ mathbb {Z} + m_2 \ right) = n \ mathbb {Z} + (m_1 \ cdot m_2). [/ matemáticas]
Técnicamente, tenemos que demostrar que las dos operaciones anteriores están bien definidas, porque podríamos tener la vergonzosa situación de que la suma o el producto de dos cosets representados de manera diferente, pero equivalente, terminen teniendo un resultado diferente dependiendo de la representación utilizada . Simplemente declararé sin pruebas aquí que esto nunca sucede, pero probar este hecho es bastante importante.
A partir de aquí, tenemos todo lo que necesitamos para demostrar que [math] n \ mathbb {Z} [/ math] es de hecho el elemento cero de [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math]. En realidad, esto es muy simple: tenemos que mostrar que este elemento [math] n \ mathbb {Z} [/ math] deja el coset agregado sin cambios. La prueba es de dos líneas:
[matemáticas] \ left (n \ mathbb {Z} \ right) \ oplus \ left (n \ mathbb {Z} + m \ right) = \ left (n \ mathbb {Z} +0 \ right) \ oplus \ left (n \ mathbb {Z} + m \ right) = n \ mathbb {Z} + (0 + m) = n \ mathbb {Z} + m; [/ math]
[matemáticas] \ left (n \ mathbb {Z} + m \ right) \ oplus \ left (n \ mathbb {Z} \ right) = \ left (n \ mathbb {Z} + m \ right) \ oplus \ left (n \ mathbb {Z} +0 \ right) = n \ mathbb {Z} + (m + 0) = n \ mathbb {Z} + m. [/ math]